Теорія відносності ★★★ Складний

🕳 Геодезичні Шварцшильда

Орбіти навколо нерухомої чорної діри у просторочасі Шварцшильда. Спостерігайте прецесію перигелію у ЗТВ, знаходьте фотонну сферу (r = 1.5rs), найвнутрішню стабільну кругову орбіту НСЦО (r = 3rs) та запускайте падаючі геодезичні, що перетинають горизонт подій.

r/rs = — v/c = — Прецесія = —°/орбіта Тип орбіти: —
(dr/dφ)² = r⁴/L̃² [Ẽ² − (1−rs/r)(1 + L̃²/r²)]  |  rфот = 1.5rs  |  rНСЦО = 3rs

Просторочас Шварцшильда та Геодезичні

У плоскому просторі (Ньютон) орбіти є ідеальними еліпсами без прецесії. У просторочасі Шварцшильда ефективний потенціал (на одиницю маси) Veff(r) = (1−rs/r)(1 + L̃²/r²) містить додатковий доданок ЗТВ −rsL̃²/r³, що робить близькі орбіти нестабільними.

Ключові радіуси (rs = радіус Шварцшильда = 2GM/c²):

  • r = rs — горизонт подій; ніщо не може втекти
  • r = 1.5 rs — фотонна сфера (нестабільна кругова орбіта світла)
  • r = 3 rs — НСЦО: найвнутрішня стабільна кругова орбіта
  • r > 3 rs — стабільні кругові орбіти існують

Знаменита прецесія перигелію Меркурія — 43 кутові секунди на сторіччя — це той самий ефект ЗТВ, застосований до слабкого поля тяжіння Сонця.

Про цю симуляцію

У плоскому ньютонівському просторі орбіти є нерухомими ідеальними еліпсами. Навколо чорної діри Шварцшильда рівняння геодезичної (dr/dφ)² = r⁴/L̃²·[Ẽ² − (1−rs/r)(1+L̃²/r²)] додає релятивістську поправку, через яку близькі орбіти прецесують, а деякі частинки безповоротно падають за горизонт подій. Симуляція чисельно інтегрує це рівняння методом Рунге-Кутти 4-го порядку за заданими енергією Ẽ та кутовим моментом L̃/rs, дозволяючи запустити частинку з будь-якого радіуса r0/rs і побачити, чи вона осяде на стабільну прецесуючу орбіту, чи впаде крізь горизонт подій.

🔬 Що показано

Лінія малює траєкторію тестової частинки в полярних координатах (r, φ) навколо нерухомої чорної діри радіуса rs. Пунктирні кола позначають горизонт подій (r=rs), фотонну сферу (r=1.5rs), де по колу може рухатись навіть світло, та НСЦО (r=3rs) — найближчий радіус, на якому ще можлива стабільна кругова орбіта.

🎮 Як користуватись

Рухайте повзунки Енергія Ẽ, Кутовий момент L̃/rs та r0/rs, або оберіть один із п'яти пресетів — Кругова НСЦО, Прецесуючий еліпс, Фотонна орбіта, Падаюча, Втеча — і натисніть Запустити. Панель статистики показує поточний радіус, прецесію за оберт і тип орбіти; Очистити скидає полотно.

💡 Чи знали ви?

Реальна прецесія перигелію Меркурія — 43 кутові секунди за століття — спричинена тим самим релятивістським доданком, застосованим до набагато слабшого тяжіння Сонця; саме цей розрахунок переконав фізиків, що загальна теорія відносності правильна.

Часті запитання

Що таке радіус Шварцшильда (rs)?

Це радіус rs = 2GM/c², на якому друга космічна швидкість для нерухомої маси дорівнює швидкості світла — саме він визначає горизонт подій чорної діри Шварцшильда. Після перетину r = rs ніщо, навіть світло, не може вирватись назовні.

Що таке фотонна сфера?

Фотонна сфера розташована на r = 1.5 rs, де навіть світло теоретично може рухатись по нестабільній круговій орбіті навколо чорної діри. Будь-яке збурення відправляє фотон або всередину, або назовні, тому в симуляції вона показана як тонке пунктирне кільце, а не місце для стабільної орбіти.

Що означає НСЦО і чому це важливо?

НСЦО — найвнутрішня стабільна кругова орбіта — розташована на r = 3 rs для чорної діри Шварцшильда. Всередині цього радіуса кругові орбіти стають нестабільними, і будь-яке збурення змушує тіло по спіралі впасти за горизонт — тому внутрішній край акреційних дисків реальних чорних дір знаходиться приблизно тут.

Чому орбіти прецесують, а не залишаються замкненими еліпсами?

У ньютонівській гравітації зв'язана орбіта — це нерухомий еліпс, що ніколи не обертається. Загальна теорія відносності додає до ефективного потенціалу додатковий член порядку 1/r³, через який перигелій кожної орбіти трохи зсувається щооберту — пресет «Прецесуючий еліпс» наочно демонструє цю розетку.

Що відбувається у пресетах «Падаюча» та «Втеча»?

У пресеті «Падаюча» частинка отримує замало кутового моменту, щоб протистояти тяжінню на своєму радіусі, тому вона спіраллю падає і перетинає горизонт подій на r = rs. У пресеті «Втеча» частинці задано достатньо енергії (Ẽ ≥ 1), щоб повністю подолати тяжіння чорної діри й полетіти на велику відстань, не повертаючись.