Ця симуляція чисельно інтегрує рівняння Ейлера для вільного (без моменту сил) обертання твердого тіла у формі прямокутної “книжки” (Lx = 2.6, Ly = 1.6, Lz = 0.42), три головні моменти інерції якої I₁<I₂<I₃ обчислюються безпосередньо з цих розмірів. На кожному кадрі анімації кутова швидкість ω у системі тіла просувається через 8 підкроків розв’язувача Рунге–Кутти 4-го порядку (RK4), а кватерніон орієнтації оновлюється на кожному підкроці за формулою q̇ = ½q⊗(0,ω) і нормалізується. Обертання навколо середньої осі ① вносить невелике збурення на дві інші компоненти; оскільки I₂ лежить між I₁ і I₃, ця вісь є нестійкою сідловою точкою, де перетинаються еліпсоїд енергії та сфера моменту імпульсу, тож збурення зростає, і тіло періодично перевертається через голову. Момент імпульсу L = Iω та енергія обертання E = ½Iω² обчислюються наживо, щоб підтвердити, що обидва зберігаються сталими.
Тверде прямокутне тіло з трьома різними головними моментами інерції (I₁<I₂<I₃), що перевертається в реальному часі. Розкрутіть його навколо довгої, середньої чи плоскої осі й перевірте, чи тримається воно стійко, чи спонтанно перевертається через голову — саме так, як передбачають рівняння Ейлера для обертання без моменту сил.
Оберіть вісь обертання кнопками ①②③, потім налаштуйте швидкість обертання ω, відсоток початкового збурення та швидкість відтворення. Натисніть «Скинути», щоб пересіяти збурення, «Пауза», щоб зупинити рух, і тягніть у 3D-сцені, щоб обертати камеру навколо тіла, що перевертається.
Космонавт Володимир Джанібеков помітив цю саму нестабільність у 1985 році на станції «Салют-7», коли гайка-баранчик, що оберталася, злетіла з болта й продовжувала перевертатися через голову — на Землі астронавти називають те саме явище ефектом тенісної ракетки.
Три головні моменти інерції тіла задовольняють I₁<I₂<I₃. Обертання навколо осі з найменшим (I₁) або найбільшим (I₃) моментом інерції є стійкою рівновагою рівнянь Ейлера, а обертання навколо проміжної осі (I₂) — це сідлова точка, де перетинаються поверхня збереженої енергії та сфера моменту імпульсу. Будь-яке крихітне збурення на цій осі не залишається обмеженим, а зростає, тож тіло перевертається через голову, ненадовго вирівнюється, а потім знову перевертається.
Кутова швидкість у системі тіла обчислюється методом Рунге–Кутти 4-го порядку (RK4), поділеним на 8 підкроків на кожен кадр анімації, а кватерніон орієнтації оновлюється на кожному підкроці за формулою q̇ = ½q⊗(0,ω) і нормалізується. Інтегратор високого порядку зберігає момент імпульсу L та енергію обертання E майже сталими навіть при тривалому прогоні, тож перевертання, які ви бачите, — це реальна властивість рівнянь Ейлера, а не числовий дрейф.
Червона, зелена та синя стрілки — це три головні осі тіла (довга, середня, плоска), і вони обертаються разом із ним. Золота стрілка — вектор моменту імпульсу L, обчислений як L = Iω в системі тіла та повернутий у світові координати; оскільки на тіло не діє зовнішній момент сил, напрямок L лишається незмінним у світовій системі координат протягом усієї симуляції — саме так, як того вимагає закон збереження моменту імпульсу.
Обертання точно навколо середньої осі без жодного збурення є справжньою, але нестійкою рівновагою рівнянь Ейлера, тож в ідеальному світі воно оберталося б вічно без перевертання. Повзунок збурення додає невелику компоненту кутової швидкості на двох інших осях, щоб навмисно посіяти цю нестабільність — більше збурення змушує зростаюче відхилення досягти повного перевертання швидше й спричиняє частіші перевертання за той самий час.
Тіло моделюється як однорідний прямокутний паралелепіпед із довжинами сторін Lx = 2.6, Ly = 1.6 та Lz = 0.42 й одиничною масою. Кожен головний момент інерції обчислюється за стандартною формулою для паралелепіпеда, наприклад I₁ = (m/12)(Ly²+Lz²) навколо довгої осі x, а два інші — за тією самою формулою з рештою пар довжин сторін. Оскільки Lx найбільша, а Lz найменша, довга вісь отримує найменший момент інерції, а плоска — найбільший, і саме тому середня вісь є нестійкою.