Квантове тунелювання

Рівняння Шрьодінґера · Метод матриці переходу · T(E) · Резонансне тунелювання

T = 1.00  |  R + T = 1.00  |  κ = 0.00 нм⁻¹ (швидкість загасання всередині бар'єру)  |  ВКБ: T ≈ e−2κd

⚛️ Квантове тунелювання

У класичній механіці частинка з енергією E < V₀ не може подолати потенційний бар'єр висотою V₀ — вона просто відбивається. У квантовій механіці хвильова функція експоненційно проникає всередину бар'єру і «виходить» з іншого боку з ненульовою амплітудою. Це і є квантове тунелювання — один із найбільш радикальних відступів від класичної інтуїції.

🔬 Фізика

Стаціонарне 1D рівняння Шрьодінґера −(ℏ²/2m)ψ″ + V(x)ψ = Eψ розв'язується точно за допомогою методу матриці переходу. Кожна ділянка (вільний простір або бар'єр) дає матрицю 2×2; їх добуток визначає амплітуди відбиття r і пропускання t. T = |t|², R + T = 1. Для прямокутного бар'єру: T = [1 + V₀² sh²(κd)/(4E(V₀−E))]⁻¹, де κ = √(2m(V₀−E))/ℏ.

🎮 Як користуватись

Повзунок Енергія E/V₀ визначає енергію частинки відносно бар'єру. При E < V₀ частинка тунелює; при E > V₀ — проходить класично (але квантове відбиття все одно є). Обирайте Подвійний бар'єр, щоб побачити резонансне тунелювання: T = 1 при дискретних енергіях, де всередині ями виникають стоячі хвилі — принцип роботи резонансного тунельного діода.

💡 Застосування

Квантове тунелювання лежить в основі: альфа-розпаду (ядро тунелює крізь кулонівський бар'єр), тунельних діодів, скануючої тунельної мікроскопії (СТМ), термоядерних реакцій у надрах зірок, ферментативного каталізу (перенесення H), флеш-пам'яті (електрони тунелюють крізь оксид затвора).

Про цю симуляцію

Ця симуляція розв'язує 1D стаціонарне рівняння Шрьодінґера точно, за допомогою методу матриці переходу (МПП): потенціал розбивається на кусково-сталі ділянки — вільний простір і бар'єри — і кожна ділянка дає комплексну матрицю 2×2, яка переносить амплітуду хвильової функції крізь неї. Перемноживши ці матриці для всієї структури, отримуємо точні амплітуди відбиття і пропускання, з яких без жодних наближень обчислюються ймовірність пропускання T(E) і відбиття R(E) = 1 − T(E). Доступні три форми потенціалу: одиночний прямокутний бар'єр, подвійний бар'єр (резонансне тунелювання) і сходинка потенціалу.

🔬 Що демонструє

Лівий графік показує густину ймовірності стаціонарного стану |ψ(x)|² — як вона проникає й загасає всередині бар'єру та «виходить» з іншого боку зі зменшеною амплітудою; правий графік показує точний коефіцієнт пропускання T(E) в діапазоні енергій від 0 до 2V₀. Для одиночного прямокутного бар'єру T відповідає замкненій формулі T = [1 + V₀²sh²(κd)/(4E(V₀−E))]⁻¹, де κ = √(2m(V₀−E))/ℏ — стала загасання всередині бар'єру; це значення обчислюється безпосередньо кодом матриці переходу, а не зчитується з формули.

🎮 Як користуватися

Перетягуйте повзунок Енергія E/V₀, щоб змінювати енергію частинки відносно висоти бар'єру — нижче 1.0 частинка класично заборонена, але все одно тунелює; вище 1.0 вона класично дозволена, але все одно частково відбивається. Змінюйте Висоту бар'єру V₀ і Ширину бар'єру, щоб побачити, як T спадає приблизно експоненційно з обома параметрами. Перемкніться на Подвійний бар'єр, щоб відкрити повзунок Ширина проміжку і спостерігати резонансне тунелювання: T зростає рівно до 1.0 при дискретних енергіях, де в ямі між двома бар'єрами утворюється стояча хвиля — це і є механізм резонансного тунельного діода.

💡 Чи знали ви?

Інформаційна стрічка також показує наближення ВКБ T ≈ e^(−2κd) поруч із точним значенням із матриці переходу, тож можна безпосередньо побачити, наскільки близько (або далеко) проста експоненційна оцінка підходить до справжнього квантово-механічного результату зі зміною ширини бар'єру та енергії.

Поширені запитання

Який чисельний метод використовує ця симуляція?

Вона використовує метод матриці переходу (МПП), застосований до стаціонарного 1D рівняння Шрьодінґера. Потенціал розбивається на кусково-сталі ділянки; кожна ділянка дає матрицю поширення, а кожна межа — матрицю зшивання, побудовану з локальних хвильових чисел. Перемноживши все це разом, отримуємо точну матрицю 2×2, що пов'язує амплітуди вхідної та вихідної хвиль, з якої без жодних наближень випливають коефіцієнт пропускання T і коефіцієнт відбиття R = 1 − T.

Як можливе квантове тунелювання, якщо енергія частинки нижча за бар'єр?

Усередині класично забороненої ділянки (E < V₀) хвильова функція не коливається, а експоненційно загасає зі сталою загасання κ = √(2m(V₀−E))/ℏ. Якщо бар'єр достатньо тонкий, хвильова функція не встигає загаснути до нуля на дальньому краю, тож вона знову «виходить» там як поширювана хвиля зі зменшеною, але ненульовою амплітудою — даючи ймовірність пропускання T > 0, хоча класична частинка з такою самою енергією просто відбилася б назад.

Що таке резонансне тунелювання і чому T досягає рівно 1?

У режимі Подвійний бар'єр ділянка між двома бар'єрами діє як квантова яма. За певних енергій частинки хвиля, що відбивається туди-сюди всередині ями, інтерферує конструктивно, утворюючи стоячу хвилю — квазізв'язаний стан. На цих резонансних енергіях матриця переходу дає T = 1, тобто частинка проходить крізь обидва бар'єри з ідеальним пропусканням, хоча кожен бар'єр окремо блокує більшість хвилі. Цей ефект — принцип роботи резонансного тунельного діода.

Чому крива пропускання T(E) виглядає інакше в режимі сходинки потенціалу?

Сходинка потенціалу має лише одну межу замість бар'єру скінченної ширини, тому немає ділянки експоненційного загасання й відновлення — хвиля або поширюється (E > V₀, з частковим квантовим відбиттям на сходинці), або загасає в забороненій ділянці й не може знову з'явитися (E < V₀, де T = 0 точно). Це дає криву з T = 0 для всіх E нижче V₀ і плавним зростанням до 1 вище неї — на відміну від режимів одиночного й подвійного бар'єру, де T коливається або відновлюється після класично забороненої ділянки.

Які реальні фізичні системи спираються на таке квантове тунелювання?

Та сама математика одиночного й подвійного бар'єру, змодельована тут, описує альфа-розпад, коли альфа-частинка ядра тунелює крізь кулонівський бар'єр; сканувальний тунельний мікроскоп, де електрони тунелюють крізь вакуумний проміжок між гострим вістрям і поверхнею; резонансні тунельні діоди, які використовують квантову яму з подвійним бар'єром точно так само, як у режимі Подвійний бар'єр цієї симуляції; і флеш-пам'ять, де електрони тунелюють крізь тонкий шар оксиду, щоб зберегти або стерти біт.