Про оглядач розподілів імовірностей
Цей інструмент будує графіки семи основних розподілів імовірностей — нормального, Пуассона, експоненційного, біноміального, бета, рівномірного та хі-квадрат — у вигляді щільності імовірності (PDF) або кумулятивної функції (CDF). Неперервні щільності зображуються як гладкі криві на сітці з 600 точок, тоді як дискретні розподіли подаються у вигляді стовпців. Кожен обчислюється за точною замкненою формулою, а складнішу математику обробляють спеціальні функції, такі як логарифм гамма-функції (наближення Ланцоша), функція помилок та регуляризовані неповні гамма- й бета-функції.
Вкладки розподілів і повзунки параметрів дозволяють задавати такі значення, як середнє та стандартне відхилення нормального розподілу, інтенсивність Пуассона й експоненційного, кількість випробувань і ймовірність успіху біноміального, параметри форми бета-розподілу, межі рівномірного та число ступенів свободи хі-квадрат. Поля інтервалу затіняють і обчислюють P(a < X < b), панель показує середнє, дисперсію, асиметрію, ексцес і квартилі, а накладання дозволяє порівняти два розподіли одночасно. Ці розподіли є основою статистики, моделювання ризиків, контролю якості та машинного навчання.
Поширені запитання
Що таке розподіл імовірностей?
Розподіл імовірностей описує, наскільки ймовірним є кожне можливе значення випадкової величини. Для неперервних величин це задається функцією щільності імовірності (PDF), площа під кривою якої дає ймовірності; для дискретних величин це функція маси імовірності, що призначає ймовірність кожному результату. Оглядач дозволяє переглядати й порівнювати сім найпоширеніших розподілів.
Яка різниця між поданням PDF і CDF?
PDF (або PMF для дискретних випадків) показує щільність або ймовірність у кожному значенні, тож її пік вказує на найімовірнішу область. CDF, F(x), показує накопичену ймовірність того, що величина не перевищує x, зростаючи від 0 до 1. Перемикайтеся між ними кнопками PDF і CDF; подання CDF завжди використовує фіксовану вертикальну шкалу від 0 до 1.
Як працює обчислення P(a < X < b)?
Введіть значення a і b, і інструмент затінить цю область PDF та покаже ймовірність. Він обчислює результат точно як F(b) − F(a), використовуючи кумулятивну функцію кожного розподілу: для нормального він спирається на функцію помилок, для бета й хі-квадрат — на регуляризовані неповні функції, а для дискретних розподілів підсумовує відповідні маси.
Які сім розподілів містить оглядач?
Він охоплює нормальний N(μ, σ), Пуассона(λ), експоненційний(λ), біноміальний(n, p), бета(α, β), рівномірний на [a, b] та хі-квадрат із k ступенями свободи. Пуассона й біноміальний є дискретними та зображуються стовпцями, тоді як решта — неперервні криві.
Що показують асиметрія та ексцес?
Асиметрія вимірює несиметричність: нуль для симетричних розподілів, як-от нормальний і рівномірний, додатна, коли довгий хвіст тягнеться вправо, як в експоненційного або хі-квадрат із малим числом ступенів свободи. Надлишковий ексцес вимірює важкість хвостів відносно нормального розподілу, який має нульовий надлишковий ексцес; від'ємні значення, такі як −1,2 для рівномірного, вказують на легші хвости та більш пласку форму.
Чому Пуассона й біноміальний показано стовпцями, а не кривими?
Обидва є дискретними розподілами, визначеними лише в цілих значеннях, тож неперервна крива була б оманливою. Оглядач малює стовпець у кожному цілому k, висота якого дорівнює P(X = k). Біноміальний підраховує успіхи в n незалежних випробуваннях, а Пуассона підраховує події у фіксованому інтервалі за середньою інтенсивністю λ; обидва будуються в усьому діапазоні їхніх цілих значень.
Наскільки точні обчислені значення?
Математика використовує стандартні методи високої точності: наближення Ланцоша для логарифма гамма-функції, раціональне наближення для функції помилок та розклади у вигляді ланцюгових дробів або рядів для регуляризованих неповних бета- й гамма-функцій. Квантилі для розподілів без замкнених форм знаходяться двійковим пошуком по CDF, що дає результати з точністю до багатьох десяткових знаків для типових діапазонів параметрів.
Який зв'язок між розподілами Пуассона й експоненційним?
Вони описують той самий базовий процес з різних боків. Якщо події відбуваються випадково зі сталою середньою інтенсивністю λ, кількість подій у фіксованому інтервалі підпорядковується розподілу Пуассона, тоді як час очікування між послідовними подіями підпорядковується експоненційному розподілу. Експоненційний розподіл також не має пам'яті: імовірність почекати ще t не залежить від того, скільки ви вже чекали.
Чому бета-розподіл корисний у баєсівській статистиці?
Бета-розподіл визначений на інтервалі [0, 1], що робить його природною моделлю для невідомої ймовірності або частки. Він є спряженим апріорним розподілом для правдоподібностей Бернуллі та біноміального, тож оновлення бета-апріорі спостереженими успіхами й невдачами дає інший бета-розподіл. Якщо обидва параметри форми дорівнюють 1, як окремий випадок отримуємо рівномірний розподіл.
Де ці розподіли застосовуються в реальному світі?
Нормальний моделює похибки вимірювань та агреговані величини через центральну граничну теорему; Пуассона моделює надходження дзвінків до колл-центру або підрахунки рідкісних подій; експоненційний моделює час між відмовами; біноміальний моделює опитування та результати клінічних випробувань; хі-квадрат лежить в основі тестів узгодженості та незалежності; а бета й рівномірний з'являються повсюди в баєсівському висновуванні, моделюванні та генерації випадкових чисел.