У 1948 році Річард Фейнман переформулював квантову механіку як суму за історіями: амплітуда переходу частинки з точки A в точку B — це сума за всіма можливими шляхами величини e^(iS[шлях]/ħ), де S — це класична дія цього шляху. Ця демонстрація використовує чесне спрощення для навчальних цілей — замість обчислення справжнього інтеграла дії фаза кожного шляху береться пропорційною до довжини його дуги, фаза ≈ k·L. Це зберігає суть ідеї інтерференції, не вимагаючи лагранжіана. Справжній формалізм інтеграла за траєкторіями лежить в основі сучасної квантової теорії поля, зокрема обчислень за діаграмами Фейнмана, що використовуються в КЕД та в решітковій КХД-симуляції фізики частинок.
Amplitude = Σ_paths e^(iS[path]/ħ) — справжній
інтеграл за траєкторіями Фейнмана, підсумований за кожним
можливим шляхом, зваженим його класичною дією S. Ця симуляція
використовує спрощену заміну phase ≈ k·L, де L —
довжина дуги шляху — педагогічний замінник S/ħ, що зберігає
поведінку стаціонарної фази без повного обчислення лагранжіана.
Фейнман розробив формулювання інтеграла за траєкторіями ще студентом-аспірантом після випадкового зауваження Поля Дірака про роль класичного лагранжіана в квантовій теорії. Інтеграли за траєкторіями тепер є стандартним обчислювальним інструментом у фізиці частинок — решіткова КХД, яка передбачає маси протонів і нейтронів із перших принципів, є прямим числовим нащадком ідеї Фейнмана.
Формулювання інтеграла за траєкторіями Річарда Фейнмана 1948 року переосмислює квантову механіку як суму за кожною мислимою траєкторією, якою частинка могла б рухатися з однієї точки в іншу. Кожен шлях робить внесок у вигляді «стрілки» однакової величини, напрямок якої задає класична дія цього шляху; додавання всіх стрілок «кінець до кінця» дає повну квантову амплітуду, а квадрат довжини результату дає ймовірність. Ця симуляція робить цю ідею відчутною: десятки або сотні випадково звивистих шляхів проводяться від фіксованого джерела A до фіксованої цілі B, а їхні внески з'єднуються в ланцюг одиничних фазорів.
Для простоти, і тому що обчислення справжньої класичної дії вимагає вибору конкретного лагранжіана, фаза кожного шляху тут береться пропорційною до довжини його дуги, а не до точної дії. Це прямо зазначено, оскільки це спрощення, а не підручниковий результат — але воно точно зберігає поведінку, яку передбачає метод Фейнмана: шляхи, близькі до найкоротшого, найбільш «класичного» маршруту, мають схожі фази й підсилюють одна одну, тоді як довгі, хаотичні обхідні шляхи розсіюються за фазою і скасовуються. Повна, строга версія цієї ідеї є робочим інструментом сучасної фізики, лежачи в основі обчислень за діаграмами Фейнмана в квантовій електродинаміці та решіткових КХД-симуляцій, що використовуються для обчислення мас протонів і нейтронів із перших принципів.
Це спосіб обчислення квантових ймовірностей, уявляючи, що частинка одночасно проходить кожним можливим шляхом між двома точками, а не лише одним шляхом, передбаченим класичною механікою. Кожен шлях робить внесок у вигляді комплексного числа однакового розміру, але різного напрямку (фази); підсумовування всіх їх дає повну квантову амплітуду переходу частинки з A до B.
Справжня фаза кожного шляху дорівнює S[шлях]/ħ, де S — класична дія — інтеграл лагранжіана вздовж цього шляху, який залежить від конкретної фізичної системи (вільна частинка, осцилятор тощо). Точне обчислення цього виходить за межі демонстрації загального призначення, тож ця симуляція використовує фазу ≈ k·L, де L — довжина дуги шляху, як чесний педагогічний замінник, що відтворює той самий якісний характер інтерференції.
Ланцюг впорядкований за зростанням довжини шляху, тож найкоротші, майже прямі (найбільш «класичні») шляхи йдуть першими. Оскільки їхні довжини — і, відповідно, фази — змінюються повільно від одного шляху до наступного, їхні стрілки вказують майже в одному напрямку й додаються майже по прямій лінії. Це візуалізує принцип стаціонарної фази, що лежить в основі принципу найменшої дії.
Довші, більш звивисті шляхи мають довжини дуг, які швидко змінюються від одного випадкового шляху до наступного, тож їхні фази практично розсіяні. З'єднані «кінець до кінця», стрілки з розсіяною фазою вказують у багатьох різних напрямках і закручуються самі на себе, майже нічого не додаючи до чистого зміщення — це деструктивна інтерференція в дії.
Це результуючий вектор: сума всіх фазорів у ланцюзі, проведена від початку координат прямо до кінчика останньої стрілки. Її довжина, |R|, пропорційна повній квантовій амплітуді досягнення B через цей ансамбль шляхів; піднесення її до квадрата дало б відносну ймовірність.
Так. При більшій кількості вибраних шляхів область, близька до класичної, заповнюється точніше, а деструктивне скасування серед некласичних шляхів стає повнішим, тож результуючий вектор має тенденцію встановлюватися на більш стабільному значенні при повторних регенераціях із фіксованою звивистістю та хвильовим числом.