Частинка в потенціальній ямі — частинка, замкнена в одновимірній нескінченно глибокій прямокутній ямі — це найпростіша модель квантового обмеження, яка водночас пояснює, чому обмежені квантові системи мають дискретні, квантовані рівні енергії замість неперервного спектра. Саме ця фізика лежить в основі квантових точок — напівпровідникових нанокристалів розміром лише кілька нанометрів, де обмеження електрона в крихітному об'ємі задає його рівні енергії, а отже й колір світла, яке він поглинає чи випромінює. Це принцип роботи QLED-дисплеїв і флуоресцентних міток у біомедичній візуалізації. Модель також слугує гарним першим наближенням для електронів у спряжених молекулах і напівпровідникових квантових ямах.
E_n = n²π²ħ²/(2mL²) — квантовані рівні енергії, що
нумеруються цілим квантовим числом n.
ψ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L) — нормовані власні функції
нескінченно глибокої прямокутної ями.
Ψ(x,t) = (1/√2)[ψ_n(x)e^(−iE_n t) + ψ_m(x)e^(−iE_m t)] —
суперпозиція двох станів, густина ймовірності якої б'ється з кутовою
частотою ω = E_m − E_n.
Справжні квантові точки — нанокристали шириною лише кілька нанометрів — світяться різними кольорами саме завдяки обмеженню за принципом частинки в ямі: менші точки жорсткіше обмежують електрони, збільшуючи енергетичну щілину й зсуваючи випромінюване світло до синього, тоді як більші точки світяться червоним. Цей самий ефект сьогодні масово використовують у телевізорах з QLED-технологією та як настроювані флуоресцентні мітки в біомедичній візуалізації.
Частинка в потенціальній ямі — найпростіша розв'язувана модель квантової механіки: частинка, обмежена одновимірною ділянкою довжиною L з нескінченно високими стінками на межах. Оскільки хвильова функція мусить дорівнювати нулю на стінках, всередині вкладається лише дискретний набір стоячих хвиль — власні функції ψn(x) = √(2/L)·sin(nπx/L) — кожна пов'язана з квантованою енергією En = n²π²ħ²/(2mL²). Саме цей результат — обмеження змушує енергію набувати дискретних сходинок замість гладкого континууму — є зерном, з якого виростає більша частина квантової механіки.
Ця симуляція дозволяє розглянути окремий власний стан, показуючи як хвильову функцію ψn(x), так і її густину ймовірності |ψn(x)|², або перемкнутися на суперпозицію двох станів n і m і побачити, як густина ймовірності справді еволюціонує в часі, "перехлюпуючись" між стінками ями з частотою квантового биття ω = Em − En. Та сама фізика обмеження керує реальними квантовими точками — напівпровідниковими нанокристалами шириною лише кілька нанометрів — де зменшення розміру ями збільшує енергетичну щілину й зсуває випромінюваний колір до синього, принцип, застосований у QLED-дисплеях та біомедичних мітках.
Це ідеалізована квантова система: частинка, обмежена одновимірною ділянкою довжиною L нескінченно високими потенціальними стінками при x = 0 і x = L, з нульовим потенціалом усередині. Розв'язання рівняння Шрьодінгера за цих граничних умов дає дискретну драбину дозволених енергій замість континууму, що робить модель найяскравішою ілюстрацією квантування енергії.
Хвильова функція мусить дорівнювати нулю на обох стінках, оскільки частинка не може існувати там, де потенціал нескінченний. Лише синусоїди, що вкладають ціле число півхвиль між стінками, задовольняють цю умову, і кожній дозволеній довжині хвилі відповідає одна конкретна енергія En = n²π²ħ²/(2mL²). Саме граничні умови, а не саме рівняння, змушують енергії бути дискретними.
Він змішує два власні стани, n і m, в один залежний від часу стан Ψ(x,t) і будує графік його живої густини ймовірності |Ψ(x,t)|². Оскільки обидва компоненти набирають фазу з різною швидкістю (яка задається їхніми енергіями), сумарна густина не статична — вона помітно осцилює, або "б'ється", всередині ями з кутовою частотою ω = Em − En, наочно демонструючи справжню квантову еволюцію в часі.
Вона є принципом роботи квантових точок — напівпровідникових нанокристалів шириною лише кілька нанометрів, які використовують у QLED-телевізорах, сонячних елементах і біомедичній флуоресцентній візуалізації — де обмеження електрона в наномасштабному об'ємі задає його енергетичну щілину, а отже й випромінюваний колір, суто через обмеження за типом ями. Вона також є стандартним першим наближенням для електронів у спряжених молекулах та у виготовлених напівпровідникових квантових ямах.