Розкидайте випадкові точки всередині одиничного квадрата та підраховуйте, скільки з них потрапляють у чверть кола. Відношення точок усередині до загальної кількості сходиться до π/4 — жива демонстрація методу Монте-Карло та закону великих чисел.
Цей інструмент демонструє метод Монте-Карло, оцінюючи π за допомогою чистої випадковості. Тисячі точок розкидаються рівномірно по одиничному квадрату, і кожна перевіряється за рівнянням кола, щоб визначити, чи потрапляє вона у вписану чверть кола. Оскільки відношення площі чверті кола до площі квадрата дорівнює точно π/4, множення спостережуваної частки точок усередині на чотири дає поточну оцінку π, яка стає дедалі точнішою зі збільшенням кількості вибраних точок.
Випадкові точки (x, y) обираються рівномірно з [0,1]×[0,1]. Точка вважається усередині, якщо x²+y² ≤ 1. Оскільки площа(чверть кола)/площа(квадрата) = π/4, частка точок усередині наближає π/4, тож π ≈ 4·(усередині/усього). Графік відстежує цю поточну оцінку відносно справжнього значення π.
Налаштуйте повзунок кількості точок за кадр, щоб вибирати швидше або повільніше, увімкніть чи вимкніть графік збіжності та скористайтеся Паузою, щоб зупинити анімацію, або Скиданням, щоб очистити всі точки й почати заново. Панель статистики показує живі підрахунки, поточну оцінку π та її абсолютну похибку відносно Math.PI.
Це той самий тип статистичної вибірки, що використовується для оцінки складних фінансових деривативів, моделювання переносу нейтронів у ядерних реакторах та рендерингу реалістичного освітлення в кіно — скрізь, де точну відповідь обчислити занадто складно, але хороша випадкова оцінка досяжна.
Чверть кола радіусом 1, вписана в одиничний квадрат, має площу π/4, тоді як площа квадрата дорівнює 1. Якщо точки розкидані рівномірно по квадрату, ймовірність того, що будь-яка з них потрапить у чверть кола, дорівнює цьому відношенню площ, π/4. Підрахунок частки точок, що потрапили всередину, і множення на 4 тому оцінює π.
Кожна нова партія випадкових точок є новою статистичною вибіркою, тому спостережувана частка точок усередині коливається навколо справжнього значення π/4. Зі зростанням загальної кількості точок N закон великих чисел наближає поточну оцінку до π, а типова похибка зменшується пропорційно 1/√N.
Це статистична оцінка, а не точний розрахунок. Оскільки положення кожної точки випадкове, кількість точок усередині чверті кола сама є випадковою величиною, тож оцінка завжди містить певну похибку вибірки. Ця похибка зменшується з ростом кількості вибірок, але ніколи повністю не зникає за скінченного запуску.
Оцінки Монте-Карло зазвичай сходяться зі швидкістю 1/√N, тобто для отримання ще одного знаку точності потрібно приблизно у 100 разів більше вибірок. Це значно повільніше за детерміновані числові методи для гладких одновимірних задач, але Монте-Карло набагато краще масштабується на багатовимірні задачі, де такі методи стають непрактичними.
Методи Монте-Карло застосовують усюди, де задача занадто складна для точного розв'язання, але піддається наближенню через повторну випадкову вибірку: оцінка фінансових опціонів, моделювання фізики частинок і ядерних реакцій, рендеринг глобального освітлення в комп'ютерній графіці, оптимізація та байєсівський статистичний висновок, серед багатьох інших застосувань.