Кидайте голки у випадкові позиції та під випадковими кутами на підлогу, розкреслену рівновіддаленими паралельними лініями. Імовірність перетину голкою лінії безпосередньо залежить від π, тож підрахунок перетинів дозволяє оцінити π з чистої геометрії та випадковості.
Цей інструмент відтворює голку Бюффона — ймовірнісну головоломку 1733 року, у якій голки довжиною l кидають на підлогу, розкреслену паралельними лініями на відстані d одна від одної. Кожна голка потрапляє у випадкову позицію під випадковим кутом, а те, чи перетинає вона лінію, залежить від простої тригонометрії. Оскільки теоретична ймовірність перетину дорівнює 2l/(πd), підрахунок кинутих голок відносно перетинів і переставлення формули дає живу, дедалі точнішу оцінку π.
Кожна голка отримує випадкову позицію центра y за модулем d і випадковий кут θ у межах [0, π). Вона перетинає лінію, коли (l/2)·sin(θ) не менше відстані від центра голки до найближчої розкресленої лінії. Оскільки P(перетин) = 2l/(πd), поточне відношення голок до перетинів дає π ≈ (2·l·N)/(d·C).
Налаштуйте повзунок довжини голки, щоб змінити l відносно фіксованої відстані d між лініями (утримується ≤ d), і повзунок швидкості кидання, щоб керувати кількістю голок за кадр. Скористайтеся Паузою, щоб зупинити анімацію, і Скиданням, щоб очистити всі голки й почати нову спробу. Панель статистики відстежує кинуті голки, перетини та поточну оцінку π з похибкою.
Голку Бюффона вважають одним із найперших методів Монте-Карло, що випередив формальну теорію приблизно на два століття. Вона показує, що суто геометричний ймовірнісний експеримент — без жодного явного кола — усе одно може розкрити π, бо функція синуса, що зв'язує кут із відстанню перетину, неявно несе в собі π.
Задача голки Бюффона, поставлена 1733 року, запитує: якщо голку довжиною l кинути навмання на підлогу, розкреслену паралельними лініями на відстані d, яка ймовірність, що голка перетне лінію? Коли l ≤ d, відповідь становить P = 2l/(πd), напряму пов'язуючи простий фізичний експеримент із π.
Оскільки ймовірність перетину дорівнює 2l/(πd), спостереження частки кинутих голок, що перетинають лінію, і переставлення формули виокремлює π: π ≈ (2·l·N)/(d·C), де N — кількість кинутих голок, а C — кількість перетинів. Більше кидків дає надійнішу оцінку.
Довжина голки l відносно відстані між лініями d визначає базову ймовірність перетину. Довші голки (ближчі до l = d) перетинають лінії частіше, даючи більше подій перетину на кидок і статистично стабільнішу оцінку за однакової кількості кидків, хоча базова формула лишається дійсною для будь-якого l ≤ d.
Так. Вона використовує повторні випадкові випробування — випадкову позицію та кут голки — для оцінки математичної константи за спостережуваною частотою, що є точним визначенням методу Монте-Карло. Вона випередила формальну техніку Монте-Карло, розроблену в Лос-Аламосі в 1940-х роках, приблизно на два століття.
Як і всі оцінки Монте-Карло, голка Бюффона сходиться зі швидкістю, пропорційною 1/√N, тож збільшення кількості кидків у чотири рази лише вдвічі зменшує типову похибку. Досягнення високої точності таким шляхом вимагає величезної кількості голок, тому заявлені історичні результати з високою точністю викликають скептицизм.