Ця симуляція відтворює класичні рівняння Лотки-Вольтерри — пару зв'язаних диференціальних рівнянь, що описують, як популяції жертви (зайців) і хижака (лисиць) змінюються з часом. Жертви зростають із темпом r і гинуть пропорційно до кількості зустрічей із хижаками; хижаки збільшуються завдяки поїданню жертв і зменшуються внаслідок природної смерті. Траєкторія обчислюється чисельно методом Рунге-Кутти четвертого порядку (RK4) з кроком 0,02 роки.
Повзунки задають темп росту жертви r, швидкість хижацтва α, ефективність перетворення β, темп загибелі хижака m, а також початкові чисельності H₀ та P₀. Перемикачі дозволяють переглянути криві популяцій у часі, фазовий портрет із нульізоклінями або обидва графіки одночасно. Такі моделі лежать в основі теоретичної екології, управління рибним промислом та аналізу архівних записів хутрових компаній — наприклад, циклів рись-заєць.
Що показує ця симуляція?
Вона демонструє модель хижак-жертва Лотки-Вольтерри, де дві популяції повторюють циклічні коливання. Можна спостерігати за динамікою в часі, переглянути замкнену орбіту на фазовій площині або показати обидва вікна поруч.
Які два рівняння лежать в основі моделі?
Жертва змінюється за формулою dH/dt = r·H − α·H·P, а хижак — за dP/dt = β·α·H·P − m·P. Жертви ростуть експоненційно, але гинуть під час зустрічей із хижаками; хижаки розмножуються, перетворюючи з'їдену жертву на нащадків, і вмирають з постійною швидкістю.
Що роблять елементи керування?
Повзунки встановлюють темп росту жертви r, швидкість хижацтва α, ефективність хижака β, темп загибелі m та початкові чисельності жертви й хижака. Зміна будь-якого значення змінює форму циклу та зміщує рівноважну точку, відображену на панелі.
Нетривіальна рівновага: H* = m/(β·α) для жертви і P* = r/α для хижака. У цих значеннях обидві популяції не змінюються. Симуляція позначає цю точку на фазовому портреті та показує H* і P* на панелі рівноваги.
Рівновага є нейтральним центром, а не атрактором, тому траєкторії утворюють замкнені петлі, які не ростуть і не затухають. Кожна початкова умова описує власну орбіту, а амплітуда циклу залежить від того, наскільки далеко початкові популяції відстоять від рівноваги. У базовій моделі немає згасання.
Жертви мають стати чисельними, перш ніж хижаки матимуть достатньо їжі для розмноження, тому хвиля хижаків піднімається після хвилі жертв. Зростаюча кількість хижаків потім обвалює популяцію жертв, що, своєю чергою, призводить до голоду хижаків. Це запізнення на чверть циклу — характерна форма коливання.
Фазовий портрет відкладає жертву по горизонтальній осі, а хижака — по вертикальній, тому цикл виглядає як замкнена петля. Нульізокліні — це лінії, де кожна популяція тимчасово стала: нульізокліна жертви — горизонтальна лінія P = r/α, а нульізокліна хижака — вертикальна лінія H = m/(β·α).
Вона відтворює якісну взаємодію між хижаком і жертвою, але робить суттєві спрощення. Модель не враховує ємність середовища, просторові переміщення, вікову структуру, альтернативні джерела їжі та випадкові події; її ідеально повторювані цикли є нереалістично крихкими. Екологи розглядають її як концептуальну основу, а не точний прогноз.
Симуляція інтегрує рівняння методом Рунге-Кутти четвертого порядку (RK4) з кроком часу 0,02 роки. RK4 значно точніший за простий метод Ейлера при тих самих витратах, завдяки чому замкнені орбіти штучно не зміщуються всередину чи назовні за вісімдесят років розрахунку.
Код виявляє послідовні піки на кривій жертви та усереднює час між ними, щоб отримати період циклу в роках. Поблизу рівноваги період наближається до 2π, поділеного на корінь квадратний із добутку r та m, але відображуване значення вимірюється безпосередньо із симульованої траєкторії.
Вона використовується в екології та охороні природи, управлінні рибальством і боротьбі зі шкідниками, а також у класичному аналізі записів хутрових компаній Гудзонової затоки про цикли рись-заєць. Математично схожі рівняння описують також осцилюючі хімічні реакції, економічні цикли підйому та спаду й деякі епідеміологічні системи.