Симулятор орбіт Кеплера: планета зникомо малої маси обертається навколо нерухомої центральної зорі за законом гравітації Ньютона, а положення та швидкість інтегруються щокадру методом Рунге-Кутта 4-го порядку (RK4). Початкова тангенціальна швидкість задається як кратна місцевій коловій швидкості, що дає траєкторії від ідеального кола до витягнутого еліпса. Перигелій, афелій, ексцентриситет, велика піввісь і орбітальний період обчислюються зі збережених питомої енергії та кутового моменту, а другий закон Кеплера демонструється двома секторами рівних площ — один слідує за планетою, а другий розташований на протилежному боці орбіти.
3-й закон Кеплера: T² ∝ a³
Йоганн Кеплер вивів три емпіричні закони зі спостережень планет Тіхо Браге. По-перше, кожна планета рухається по еліпсу, у одному з фокусів якого перебуває Сонце (або будь-яка центральна маса), а не в центрі. По-друге, лінія, що з'єднує планету з цим фокусом, за рівні проміжки часу описує рівні площі — планети рухаються швидше поблизу перигелію (найближчої точки) і повільніше поблизу афелію (найдальшої точки), що є прямим наочним наслідком збереження кутового моменту. По-третє, квадрат орбітального періоду пропорційний кубу великої півосі, T² ∝ a³, тож дальші планети витрачають на оберт непропорційно більше часу. Ця симуляція відтворює всі три закони: намальований шлях є справжнім еліпсом, два затінені сектори описують рівні площі за рівний час незалежно від положення планети, а панель телеметрії оновлює T та a разом щоразу, як ви змінюєте форму орбіти.
Кеплер знайшов ці закони емпірично, за десятиліття до того, як хтось зрозумів, чому вони виконуються. Пізніше Ньютон показав, що всі три випливають безпосередньо з єдиного закону гравітації, оберненого квадрату відстані, F = −GMm/r², поєднаного з математичним аналізом і його другим законом руху. Тут ця сила виражена як прискорення, a = −μr/r³ (де μ = GM), і просувається вперед у часі методом Рунге-Кутта 4-го порядку (RK4), а не за точним аналітичним розв'язком у формі конічного перерізу. Чиста задача двох тіл справді має точний аналітичний розв'язок, але RK4 — це загальний чисельний метод, який без проблем узагальнюється на збурені орбіти, багатотільні системи та некеплерівські сили. Це, по суті, той самий клас інтеграторів, який реальні розробники траєкторій космічних апаратів використовують для планування міжпланетних місій, застосований тут до найпростішого можливого випадку, щоб його точність можна було перевірити проти точного еліпса.
Що насправді показує ця симуляція?
Одну планету зникомо малої маси, що обертається навколо нерухомої зорі за законом гравітації Ньютона. Її положення та швидкість інтегруються щокадру методом RK4. Ви керуєте початковою швидкістю у стартовій точці як кратною місцевій коловій швидкості, що визначає, чи буде результатом коло, чи витягнутий еліпс, а панель наживо показує період орбіти, перигелій, афелій, ексцентриситет і велику піввісь.
Чому планети рухаються швидше поблизу перигелію?
Кутовий момент, h = r·v (для тангенціальної складової), зберігається протягом усієї орбіти. Коли планета наближається до фокуса, r зменшується, тож тангенціальна швидкість має зростати, щоб добуток r·v залишався сталим. Той самий закон збереження — причина, чому два затінені сектори мають рівну площу, хоча той, що ближче до перигелію, короткий і широкий, а той, що ближче до афелію, — довгий і вузький.
Який зв'язок між орбітальним періодом і розміром орбіти?
Третій закон Кеплера: T² ∝ a³, або точно T = 2π√(a³/μ) для центральної маси цієї симуляції. Подвоєння великої півосі збільшує період у 2√2 ≈ 2,83 рази, а не просто у 2 рази. Потягніть повзунок швидкості до крайніх значень і подивіться, як зростає значення періоду з розтягуванням орбіти у ширший еліпс.
Коло — це лише особливий випадок, коли початкова швидкість точно дорівнює місцевій коловій швидкості, v_коло = √(μ/r). Будь-яка інша тангенціальна швидкість також дає замкнену, зв'язану орбіту, доки повна питома енергія ε = v²/2 − μ/r залишається негативною, але шлях стає еліпсом, ексцентриситет якого зростає в міру віддалення початкової швидкості від колової. За стандартного значення повзунка 1,00× орбіта майже ідеальне коло; зміщення повзунка в будь-який бік від 1,00× витягує її.
Якщо швидкість досягає √2 колової швидкості, питома енергія ε стає точно нульовою, і траєкторія перетворюється на параболу, яка ніколи не повертається, — це швидкість втечі. Вище цього значення ε позитивна, і шлях стає відкритою гіперболою. Цей симулятор обмежує повзунок значно нижче цього порогу (до 1,30×, цілком нижче √2 ≈ 1,414), тож будь-яка орбіта, яку ви можете обрати, залишається замкненим, зв'язаним еліпсом.
Метод Рунге-Кутта 4-го порядку оцінює стан на короткий крок часу вперед, вибираючи прискорення в чотирьох точках усередині цього кроку і поєднуючи їх з ретельно підібраними вагами, що скасовує похибки до четвертого порядку. Для чистої задачі двох тіл існує точний аналітичний розв'язок у вигляді еліпса, тож роль RK4 тут насправді — перевірка узгодженості: якщо чисельно прокреслений шлях помітно відхилявся б або прецесував від аналітичного еліпса, намальованого під ним, це сигналізувало б про помилку інтегрування. Виконання десятків малих підкроків RK4 на кожен кадр анімації утримує це відхилення непомітним протягом багатьох орбіт.
Зі збережених питомої енергії ε = v₀²/2 − μ/r₀ і питомого кутового моменту h = r₀v₀ у стартовій точці велика піввісь дорівнює a = −μ/(2ε), а ексцентриситет — e = √(1 − h²/(μa)). Перигелій тоді дорівнює a(1−e), а афелій — a(1+e). Це працює незалежно від того, чи стартова точка виявилась близькою, чи дальньою точкою отриманого еліпса — алгебра самокоригується в обох випадках.
Тому що вони й справді однакові, за побудовою: другий закон Кеплера стверджує, що швидкість розгортки площі dA/dt = h/2 — стала, повністю визначена кутовим моментом орбіти. Обидва сектори малюються з використанням того самого фіксованого проміжку часу (2% орбітального періоду), тож обидва покривають майже точно однакову площу незалежно від того, де на еліпсі вони розміщені — швидкий вузький сектор біля перигелію та повільний широкий біля афелію.
Вона розглядає тіло на орбіті як таке, що має зникомо малу масу, тож воно ніколи не притягує центральну зорю назад (справжня задача двох тіл мала би обидва тіла, що обертаються навколо їхнього спільного центра мас). Вона також ігнорує будь-які треті тіла, релятивістські поправки, тиск випромінювання та несферичний розподіл мас — усі реальні ефекти, що з часом відхиляють справжні орбіти планет і супутників від ідеальних замкнених еліпсів.
Той самий закон гравітації оберненого квадрата та чисельне інтегрування у стилі RK4 керують орбітами планет, місяців, комет і кожного штучного супутника й міжпланетного космічного апарата. Розробники місій використовують варіанти вищого порядку саме цієї техніки, щоб планувати траєкторії, обчислювати перехідні орбіти та передбачати, де опиниться космічний апарат через роки місії, ще до додавання будь-яких збурень від інших тіл.