UK 
EnglishТипова
Polski🌀 Гіпоциклоїди та епіциклоїди — криві кочення кола
Спостерігайте, як коло котиться всередині або зовні нерухомого кола й креслить криві-рулети — дельтоїду, астроїду, кардіоїду, нефроїду, пару Тусі. Кількість вістер = R/НСД(R,r).
Про цю симуляцію
Гіпоциклоїда — це крива, накреслена точкою на малому колі, що котиться всередині більшого кола; епіциклоїда виникає, коли коло, що котиться, рухається зовні. Обидві описуються параметричними рівняннями x(t) = (R±r)cos(t) ∓ d·cos((R±r)t/r), y(t) = (R±r)sin(t) − d·sin((R±r)t/r), де R — радіус нерухомого кола, r — радіус кола, що котиться, а d — зсув пера від центру кола, що котиться. Коли d = r, з'являються особливі криві: дельтоїда (R/r = 3), астроїда (R/r = 4), кардіоїда (епіциклоїда, r = R) і нефроїда (r = R/2). Ці криві зустрічаються в оптиці як каустики — яскравий візерунок на дні кавової чашки, освітленої збоку, є кардіоїдою.
🔬 Що показано
Коло, що котиться (радіус r), прокреслює точку пера навколо нерухомого кола (радіус R), поки застосунок малює обидва напрямні кола та накопичений слід. Встановлення зсуву пера d рівним r дає справжню криву з вістрями; менше d округлює вістря в скорочену рулету, більше d створює петлясті, самоперетинні подовжені рулети. Названі криві, такі як дельтоїда, астроїда, кардіоїда та нефроїда, з'являються автоматично при певних співвідношеннях R:r і підписуються наживо над полотном.
🎮 Як користуватись
Перемикайте режим Гіпоциклоїда/Епіциклоїда, потім або перетягуйте Нерухомий радіус R, Радіус кочення r і Зсув пера d самостійно, або переходьте одразу до названої кривої за допомогою шести кнопок пресетів (лінія Тусі, Дельтоїда, Астроїда, 5-зірка, Кардіоїда, Нефроїда). Швидкість керує темпом малювання, кольорові кнопки перемикають фіолетовий, веселковий, блакитний і золотий сліди, слід можна вимкнути, щоб бачити лише коло, що котиться, а «Зберегти PNG» експортує поточний малюнок.
💡 Чи знали ви?
Коли R рівно вдвічі більше за r, гіпоциклоїда перетворюється на пряму лінію — пара Тусі, описана перським астрономом Насір ад-Діном ат-Тусі в XIII столітті, за століття до того, як її повторно відкрили в Європі як кола Кардано. Головна булька множини Мандельброта, як не дивно, є точною кардіоїдою — тією самою кривою, яку ця симуляція малює, коли радіуси кочення й нерухомого кола рівні в епіциклоїді.
Часті запитання
Яка різниця між гіпоциклоїдою та епіциклоїдою?
У гіпоциклоїді коло, що котиться, рухається всередині нерухомого кола, утворюючи вістря, спрямовані всередину; в епіциклоїді воно котиться зовні, створюючи петлі або пелюстки, спрямовані назовні. Параметричні рівняння відрізняються лише знаком члена кочення: (R−r) проти (R+r) для довжини плеча, і знаком косинусного зсуву для x(t).
Скільки вістер має астроїда і яка її площа?
Астроїда (R/r = 4) має рівно чотири вістря. Її параметрична форма: x = R cos³t, y = R sin³t, а площа дорівнює 3πR²/8 — три восьмих площі описаного кола. Довжина дуги повної астроїди дорівнює 6R.
Де епіциклоїди зустрічаються в реальному світі?
Кардіоїдна каустика з'являється на дні кавової чашки, освітленої точковим джерелом. Епіциклоїдальні профілі зубів використовуються в годинникових зубчастих колесах, оскільки вони забезпечують передачу постійної кутової швидкості й мінімальне тертя. Птолемеївська модель руху планет використовувала епіцикли — малі кола, що котяться на більших, — щоб наблизити еліптичні орбіти, спостережувані з Землі.
Що таке пара Тусі?
Пара Тусі — це особливий випадок, коли коло, що котиться, має рівно половину радіуса нерухомого кола (r = R/2) у гіпоциклоїді. Кожна точка на колі кола, що котиться, прокреслює пряму лінію через центр нерухомого кола. Названа на честь перського астронома XIII століття Насір ад-Діна ат-Тусі, вона була першим використанням механізму прямолінійного руху, отриманого з кругового руху.
Що відбувається, коли відношення R/r ірраціональне?
Коли R/r є ірраціональним числом, крива ніколи не замикається — точка прокреслює нескінченний неповторюваний шлях, що щільно заповнює кільцеву область між двома концентричними колами. Лише коли R/r є раціональним числом p/q (у найменших членах), крива замикається після q обертів кола, що котиться, утворюючи криву з p вістрями чи пелюстками.
Що таке гіпотрохоїда і чим вона відрізняється від гіпоциклоїди?
Гіпотрохоїда — це загальна форма, де точка, що прокреслюється, знаходиться на відстані d від центру кола, що котиться, не обов'язково на його краю. Коли d = r, отримуємо гіпоциклоїду (вістря на нерухомому колі). Коли d < r, крива є округленою зіркою без вістер; коли d > r, петлі перетинаються, утворюючи складнішу самоперетинну форму. Іграшка Спірограф малює гіпотрохоїди й епітрохоїди за допомогою пластикових зубчастих кілець.
Як кардіоїда пов'язана з множиною Мандельброта?
Головна булька множини Мандельброта — це точно кардіоїда. Межа головної кардіоїди параметризується як c = μ/2 − μ²/4, де μ = e^(2πiθ), що збігається з епіциклоїдою при R = r. Точки всередині цієї кардіоїди відповідають значенням c, для яких ітерація z → z² + c збігається до нерухомої точки.
Який зв'язок між епіциклоїдами і рядами Фур'є?
Будь-яку замкнену періодичну криву можна розкласти на суму обертових векторів — епіциклів, — що є саме рядом Фур'є в полярній (фазорній) формі. Один епіцикл із відношенням частот R/r утворює просту епіциклоїду; додавання більше кіл з різними радіусами й частотами будує довільну періодичну форму. Цей зв'язок безпосередньо візуалізується в симуляції «Епіцикли Фур'є».
Чи можуть епіциклоїдальні зубчасті колеса передавати постійну швидкість?
Так — коли профілі зубів як провідного, так і веденого коліс сформовані як епіциклоїди з початковим колом кожного колеса як шляхом кочення кола, миттєве співвідношення швидкостей залишається постійним протягом усього зачеплення. Це теоретична основа епіциклоїдального проєктування зубчастих коліс, хоча на практиці евольвентні зубчасті колеса поширеніші, оскільки їх легше виготовляти з узгодженими допусками.