Хвороба поширюється лише через наявні зв'язки, а не рівномірно. Топологія мережі — головний чинник розміру та швидкості спалаху.
Вузли-хаби з жовтим кільцем передають збудника вдвічі активніше та ініціюють більшість вторинних випадків — правило 20/80 в епідеміології.
Кожен вузол є Сприйнятливим, Інфікованим або Одужалим. R₀ = β·<k>/γ визначає, чи розгориться епідемія (R₀ > 1) чи згасне.
Ця симуляція моделює класичну SIR-епідемію (Сприйнятливі-Інфіковані-Одужалі), що поширюється контактною мережею, а не рівномірно перемішаною популяцією. Кожен вузол — окрема людина, кожне ребро — соціальний або фізичний контакт, через який може передаватися збудник. При побудові мережі за принципом переважного приєднання (модель Барабаші-Альберт) виникає безмасштабний розподіл ступенів: більшість людей мають мало контактів, а невелика кількість вузлів-хабів — суперрозповсюджувачів — акумулюють десятки зв'язків. Такі вузли позначені жовтим кільцем і передають збудника вдвічі інтенсивніше, що відповідає емпіричному правилу 20/80 для кору, SARS та COVID-19.
Ймовірність передачі β та ймовірність одужання γ за симульований день разом із середнім ступенем вузла <k> дають базове репродуктивне число R₀ = β·<k>/γ, що відображається в панелі в реальному часі. Коли R₀ > 1 — епідемія зростає; коли R₀ < 1 — згасає. Порівняйте безмасштабну мережу з однорідною випадковою (Ердоша-Реньї), щоб побачити, як структура мережі кардинально змінює швидкість поширення, пік інфікованих і частку населення, яка зрештою захворіє.
Що таке SIR-модель?
SIR поділяє популяцію на три категорії: Сприйнятливі (ніколи не хворіли), Інфіковані (заразні зараз) та Одужалі (мають імунітет). На кожному кроці часу кожен інфікований може передати збудника сусідам із ймовірністю β і одужати з ймовірністю γ. Ця модель є основою математичної епідеміології та застосовується для моделювання грипу, кору та COVID-19.
Що таке суперрозповсюджувач?
Суперрозповсюджувач — особа, яка спричиняє значно більше вторинних інфекцій, ніж у середньому. У контактній мережі суперрозповсюджувачами зазвичай є вузли з найвищим ступенем — люди з великою кількістю соціальних зв'язків. Вони прискорюють запалювання спалаху та є пріоритетними цілями для вакцинації або карантину.
Що таке R₀ і чому це важливо?
R₀ (базове репродуктивне число) — очікувана кількість вторинних інфекцій від одного випадку у повністю сприйнятливій популяції. Коли R₀ > 1 — епідемія зростає експоненційно; коли R₀ < 1 — згасає. У мережі R₀ приблизно дорівнює β, помноженому на середній ступінь вузла і поділеному на γ. Зниження β (маски, дистанція) або γ (швидше лікування) безпосередньо зменшує R₀.
Безмасштабна мережа має розподіл ступенів за степеневим законом: ймовірність того, що вузол має k зв'язків, пропорційна k у від'ємному степені. Кілька хабів мають дуже багато посилань, тоді як більшість вузлів — мало. Така топологія виникає природно внаслідок переважного приєднання і характерна для Інтернету, мереж цитування та реальних моделей соціальних контактів.
У добре перемішаній моделі передбачається, що всі особи однаково ймовірно зустрічаються. У неоднорідній мережі хаби є містками, що дозволяють хворобі швидко долати відстані між кластерами. Безмасштабні мережі для багатьох параметрів захворювання не мають епідемічного порогу — навіть дуже низька трансмісивність може призвести до великого спалаху, якщо хаби не ізольовані.
Для випадкових мереж епідемічний поріг — R₀ = 1. Для безмасштабних мереж із типовим показником соціальних контактів поріг наближається до нуля зі зростанням розміру мережі, оскільки відношення дисперсії до середнього ступеня розходиться. На практиці це означає, що деякі патогени з низькою трансмісивністю, які б згасли у однорідній популяції, можуть спричиняти великі спалахи в безмасштабних мережах.
Видалення або вакцинація 5% найбільш зв'язаних вузлів руйнує короткі шляхи між кластерами та підвищує ефективний епідемічний поріг. Цільова імунізація набагато ефективніша за випадкову: захист 5% хабів може зменшити пік захворюваності більш ніж на 50%, тоді як випадкова вакцинація потребує 60–70% охоплення для досягнення колективного імунітету.
Графік відображає частки населення в кожній категорії SIR протягом симульованих днів: синій — сприйнятливі, червоний — інфіковані, зелений — одужалі. Крива інфікованих зазвичай має форму дзвона — пік епідемії — з подальшим спадом через виснаження сприйнятливих та накопичення одужалих. Площа під кривою інфікованих відповідає загальному навантаженню хвороби.
Симуляція починається з невеликого затравкового кліку вузлів. Кожен новий вузол приєднується і встановлює m ребер, вибираючи наявні цілі з ймовірністю, пропорційною їхньому поточному ступеню (переважне приєднання). Цей механізм «багатому — більше» природно генерує степеневий розподіл ступенів, характерний для реальних соціальних, біологічних та технологічних мереж.
Знизьте β, щоб змоделювати фізичне дистанціювання або маски. Зменшіть розмір мережі і спостерігайте, як невеликі ізольовані спільноти сповільнюють поширення. Перемикайтесь між безмасштабною та випадковою мережею, щоб порівняти вплив топології. Оскільки суперрозповсюджувачі заражаються першими, перезапуск симуляції демонструє, як раннє ураження хабів визначає кінцевий розмір епідемії.