🥁 Вібрація мембрани барабану

Кругова мембрана барабану задовольняє 2D хвильове рівняння ∂²u/∂t² = c²∇²u із граничними умовами Діріхле u = 0 на краю. Розв'язки — добуток власних мод J_m(k_mnr)·cos(mθ)·cos(ω_mnt), де J_m — функція Бесселя порядку m. Вибирайте моди кнопками (m = кутові вузли, n = радіальні вузли), накладайте кілька мод. Клікніть мембрану для збудження. Жовті лінії показують вузлові лінії — фігури Хладні.

Власна мода (m, n)

m = кутові вузли, n = радіальні вузли

Накладання

Параметри

Швидкість хвилі 1.0 Загасання 0.001 Амплітуда 1.0

Вигляд

Частота f_mn—

Відношення до (0,1)1.000

Час0.0s

Хвильове рівняння:
∂²u/∂t² = c²(∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ²)

Власні частоти:
ω_mn = c·j_mn/R
j_mn = n-й нуль J_m

Чому барабан не гармонічний?

Струна має гармоніки f, 2f, 3f, … — нулі sin(nπx/L) рівномірно розподілені. Власні частоти кругової мембрани пропорційні нулям функцій Бесселя: j₀₁=2.405, j₁₁=3.832, j₂₁=5.136, … Це не цілі кратні основної частоти — тому барабани звучать ударно та не мають чіткої висоти тону, як струни чи органні труби. Ернст Хладні (1756–1827) демонстрував це експериментально: пісок на поверхні пластини, що вібрує, збирається на вузлових лініях.