Будь-яке дійсне число можна виразити у вигляді неперервного дробу [a₀; a₁, a₂, …]. Скінченні обривання, які називають підхідними дробами, є найкращими раціональними наближеннями до цього числа — жоден дріб з рівним або меншим знаменником не наближається ближче.
p_n = a_n * p_{n-1} + p_{n-2}
q_n = a_n * q_{n-1} + q_{n-2}
|x - p_n/q_n| < 1 / (q_n * q_{n+1})
det([[p_n, p_{n-1}],[q_n, q_{n-1}]]) = (-1)^n
Золотий перетин φ = [1; 1, 1, 1, …] — найважче наближуване раціональними числами число. Його підхідні дроби — відношення сусідніх чисел Фібоначчі (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, …). Кількість спіралей у соняшнику завжди є числом Фібоначчі саме з цієї причини!
Неперервний дріб — вираз a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …)), де a₀ — ціле число, а кожне aₙ (n ≥ 1) — натуральне число. Кожне дійсне число має такий розклад, і він є скінченним тоді й лише тоді, коли число раціональне.
Підхідні дроби pₙ/qₙ — раціональні числа, отримані обриванням неперервного дробу після n кроків. Вони збігаються до цільового числа поперемінно зверху й знизу і є доведено найкращими раціональними наближеннями: жоден дріб зі знаменником ≤ qₙ не наближається ближче до x.
Горизонтальна вісь показує числову пряму (або наближене вікно навколо цілі). Кожен підхідний дріб p/q позначений вертикальною рискою, кольором за ітерацією. З додаванням нових членів риски поперемінно підходять з різних боків і наближаються до червоної лінії цілі, наочно ілюструючи властивість найкращого наближення.
Тому що φ задовольняє φ = 1 + 1/φ, тобто неперервний дріб буквально повторює сам себе: [1; 1, 1, 1, …]. Це означає, що підхідні дроби (відношення Фібоначчі) збігаються якнайповільніше — φ є «найбільш ірраціональним» числом.
Бінарне дерево, що містить кожне додатне раціональне число рівно один раз. Починаючи з 0/1 і 1/0 як меж, кожен новий вузол є медіантою (a+c)/(b+d) двох сусідів. Шлях до будь-якого раціонального кодує його неперервний дріб: рух праворуч — збільшення поточної неповної частки, ліворуч — початок нового члена.
Експоненціально. Оскільки qₙ зростає щонайменше так само, як числа Фібоначчі (приблизно подвоюючись кожні 1,44 кроки), похибка |x − pₙ/qₙ| < 1/qₙ² спадає як φ^{-2n}. Великі неповні частки спричиняють ще швидше збіжність на цьому кроці.
Велике aₙ означає, що попередній підхідний дріб p_{n-1}/q_{n-1} вже був дуже точним наближенням. Класичний приклад — π: після [3; 7, 15, 1] наступний член — 292, тобто 355/113 є напрочуд точним наближенням π (похибка < 3×10⁻⁷).
За теоремою Діріхле, кожне ірраціональне число має нескінченно багато дробів p/q, що задовольняють |x − p/q| < 1/q². Проте числа Ліувілля (на зразок 0,110001000000000000000001…) є трансцендентними саме через те, що вони надто добре наближаються. Міра ірраціональності кількісно визначає точність наближення.
Тривалість сонячного року — приблизно 365,2422 доби. Неперервний дріб [365; 4, 7, 1, 3, …] дає підхідні дроби 365/1 (юліанський) і григоріанську корекцію: 97 високосних років у 400 дають 365 + 97/400 = 146097/400 ≈ 365,2425 — один крок від оптимуму.
Графік відображає |x − pₙ/qₙ| у логарифмічному масштабі по вертикалі залежно від індексу підхідного дробу n. Оскільки кожен крок зменшує похибку приблизно в qₙ разів, точки приблизно лежать на прямій у логарифмічному масштабі, з різкими падіннями при появі великої неповної частки.
Між послідовними підхідними дробами pₙ/qₙ і p_{n+1}/q_{n+1} існують проміжні дроби (pₙ + k·p_{n+1})/(qₙ + k·q_{n+1}) для k = 1, …, aₙ−1, що звуться напівпідхідними. Деякі є найкращими наближеннями першого роду (жоден дріб з меншим знаменником не ближче), але не другого роду.