Фізика веселки — дисперсія, внутрішнє відбиття та надлишкові дуги
Веселка — це не об'єкт із фіксованим розташуванням, а оптичне явище, що залежить від кута між Сонцем, краплею дощу та вашим оком. Щоб зрозуміти, чому вона кругла, чому червоний колір завжди ззовні та що спричиняє ледь помітні надлишкові дуги під нею, потрібні закон Снелла, математичний аналіз і хвильова оптика.
1. Геометрія веселки
Веселку завжди видно як кольорову дугу з центром в антисонячній точці — точці, що розташована точно навпроти Сонця від вашого ока. Для первинної веселки ця дуга перебуває під кутом ~42° від антисонячної точки; вторинна — під ~51°.
Веселка — це конус світла: усі краплі дощу під кутом 42° від вашої антисонячної точки одночасно надсилають червоне світло до вашого ока. Форма дуги — це перетин цього конуса з півсферою неба перед вами. З літака можна побачити повне коло.
2. Променева теорія Декарта
Рене Декарт (1637) обчислив шлях променя крізь сферичну краплю дощу:
- Заломлення на вході (повітря → вода): закон Снелла, n·sin(r) = sin(i)
- Одне внутрішнє відбиття
- Заломлення на виході (вода → повітря)
Повний кут відхилення D(i) вихідного променя залежить від кута падіння i:
n = показник заломлення води (~1.333 для жовтого світла)
i = кут падіння на поверхню краплі
Мінімальне відхилення (промінь Декарта) при dD/di = 0:
i_min = arccos( √((n²−1)/3) ) ≈ 59.5°
D_min ≈ 137.5° → кут веселки = 180° − 137.5° = 42.5°
За кута мінімального відхилення багато променів накопичуються — саме тому веселка яскрава за одного конкретного кута. Промені під іншими кутами більш розсіяні й тьмяніші.
3. Дисперсія та розділення кольорів
Вода є дисперсійною: її показник заломлення змінюється залежно від довжини хвилі. Фіолетове світло заломлюється сильніше за червоне:
| Колір | Довжина хвилі (нм) | n (вода) | Кут веселки |
|---|---|---|---|
| Червоний | 650 | 1.331 | 42.5° |
| Жовтий | 580 | 1.333 | 42.0° |
| Зелений | 530 | 1.335 | 41.5° |
| Фіолетовий | 400 | 1.342 | 40.5° |
Червоне світло виходить під більшим кутом від антисонячної точки — тож у небі червоний колір з'являється на зовнішньому краю (вгорі дуги, коли Сонце низько), а фіолетовий — на внутрішньому краю. Загальний кутовий розкид кольорів становить близько 2°.
4. Вторинна веселка
У деяких краплях дощу світло зазнає двох внутрішніх відбиттів перед виходом. Це утворює ледь помітну вторинну веселку під ~51°. Два відбиття означають:
- Порядок кольорів обернений: червоний усередині, фіолетовий ззовні.
- Вона ~40% тьмяніша за первинну (кожне відбиття втрачає частину світла на пропускання).
- Формула кута відхилення стає: D₂(i) = 2π − 2i + 6·arcsin(sin(i)/n), мінімум ~51°.
5. Темна смуга Александра
Між первинною (42°) та вторинною (51°) веселками є помітно темніша ділянка неба — темна смуга Александра. Це не тінь; це наслідок геометрії. Між 42° і 51° від антисонячної точки до ока не доходять жодні відхилені веселкою промені: первинна надсилає світло всередині 42°, а вторинна — ззовні 51°. Небо ззовні обох дуг та всередині первинної отримує відбите й розсіяне світло; смуга між ними не отримує ні того, ні іншого і здається темнішою за контрастом.
6. Хвильова теорія Ейрі та надлишкові дуги
Променева теорія Декарта передбачає одну чітку дугу за кута мінімального відхилення. Насправді ж одразу всередині первинної дуги часто видно ледь помітні, тісно розташовані дуги — надлишкові дуги — що чергуються рожевим і зеленим. Це ефект хвильової інтерференції, який неможливо пояснити геометричною оптикою.
Джордж Ейрі (1838) обчислив, що поблизу кута веселки два променеві шляхи досягають одного й того ж напрямку виходу (один вище, а другий нижче променя мінімального відхилення). Ці два промені проходять трохи різні шляхи крізь краплю та інтерферують конструктивно чи деструктивно:
Ai = функція Ейрі (розв'язок рівняння d²y/dz² = z·y)
x = k^(2/3) · (θ − θ_bow) / (деяке масштабування)
k = 2π/λ (хвильове число)
Відстань між надлишковими дугами менша для більших крапель (більше k)
Надлишкові дуги найкраще видно у веселках від малих, однорідних крапель (туман, мряка). Великі, неоднорідні краплі дощу розмивають інтерференційні смуги.
7. Поляризація
Світло веселки сильно лінійно поляризоване — приблизно на 90°, по дотичній до дуги. Це тому, що внутрішнє відбиття всередині краплі відбувається поблизу кута Брюстера для заломленого променя. Якщо повернути поляризаційні сонцезахисні окуляри на 90°, дивлячись на веселку, вона майже зникає.
8. Інші дуги
- Третинна веселка (3 відбиття): під ~140° — тож вона з'являється з того ж боку, що й Сонце, у яскравому небі. Надзвичайно тьмяна, майже неможливо побачити неозброєним оком. Уперше сфотографована у 2011 році.
- Туманна дуга (біла веселка): утворюється крихітними краплями туману (~10–100 µm). Надлишкові смуги накладаються в усіх кольорах → біла або блідо-рожева/блакитна. Набагато ширша (14–35°) за звичайну дугу.
- Місячна веселка: веселка, утворена місячним світлом замість сонячного. Та сама геометрія; виглядає білою для адаптованого до темряви людського зору (кольоровий зір потребує більше світла). Камери на довгих витримках показують колір.
- Навколозенітна дуга: це не веселка — утворюється шестикутними пластинчастими кристалами льоду, а не краплями дощу. Коротка, яскрава дуга поблизу зеніту з кольорами, оберненими щодо веселки.