Квантовий гармонічний осцилятор: рівні енергії та хвильові функції

1. Класичний гармонічний осцилятор

Маса m, прикріплена до пружини з коефіцієнтом k, підкоряється другому закону Ньютона:

Потенціальна енергія — це V(x) = (1/2)kx² = (1/2)mω²x², парабола з центром у точці рівноваги. Повна енергія E = (1/2)mω²A² неперервна — класичний осцилятор може мати будь-яку енергію взагалі. Частинка проводить більше часу поблизу своїх точок повороту (де вона рухається повільно) і менше часу поблизу центру (де вона рухається найшвидше), тож її класичний розподіл ймовірності досягає максимуму при x = ±A.

Квантова механіка кардинально змінює обидва ці факти: дозволені енергії стають дискретними, а просторовий розподіл ймовірності виявляє інтерференційну структуру, відсутню в будь-якій класичній картині.

2. Розв'язання рівняння Шредінгера

Стаціонарне рівняння Шредінгера для гармонічного осцилятора має вигляд:

Вводячи безрозмірну координату ξ = x / x₀, де x₀ = sqrt(ℏ/mω) — характеристична довжина основного стану, рівняння набуває вигляду:

Для великих |ξ| домінуюча поведінка — e²¹⁂². Щоб отримати нормовний розв'язок, ми вимагаємо, щоб хвильова функція зникала на нескінченності, що змушує ε набувати лише певних дискретних значень: ε = 2n + 1 для невід'ємних цілих чисел n = 0, 1, 2, …

3. Власні значення енергії та енергія нульових коливань

Підставляючи ε = 2n + 1 назад у співвідношення для енергії, отримуємо славнозвісний результат:

Рівні енергії рівновіддалені з проміжком ΔE = ℏω, енергією одного кванта коливань (фонона в ґратці або фотона в моді поля). Ця рівна відстань — унікальна особливість параболічного потенціалу й не виконується для ангармонічних потенціалів, таких як осцилятор Морзе.

Енергія нульових коливань

Основний стан (n = 0) має енергію:

Це енергія нульових коливань — незводимий мінімум енергії, який осцилятор зберігає навіть за абсолютного нуля температури. Вона не має класичного аналога: класична пружина може бути нерухомою у своїй рівновазі з нульовою енергією. Квантова версія не може, тому що принцип невизначеності Гайзенберга Δx Δp ≥ ℏ/2 забороняє одночасну впевненість щодо положення та імпульсу. Обмеження частинки малою областю змушує мати велике розкидання імпульсу, а отже й ненульову кінетичну енергію.

4. Поліноми Ерміта та хвильові функції

Повні нормовані хвильові функції в термінах безрозмірної координати ξ = x / x₀ такі:

Функції Hₙ(ξ) — це поліноми Ерміта, сімейство ортогональних поліномів, що задовольняють диференціальне рівняння:

Вони підкоряються трикомпонентній рекурентності:

Перші кілька поліномів Ерміта такі:

Зверніть увагу, що Hₙ є парним поліномом, коли n парне, і непарним, коли n непарне. Це означає, що хвильові функції з парним n симетричні відносно x = 0 (парна парність), а хвильові функції з непарним n антисиметричні (непарна парність). Кожна ψₙ має рівно n вузлів — точок, де вона перетинає нуль, — що відображає n квантів збудження.

5. Густина ймовірності та квантове тунелювання

Густина ймовірності знайти частинку в положенні x у стані n така:

Вражаюча особливість — квантове тунелювання: густина ймовірності ненульова за межами класичних точок повороту x = ±xₙ, де xₙ = x₀ sqrt(2n + 1). У точках повороту класична частинка має нульову кінетичну енергію і негайно повертає назад; квантова частинка має ненульову амплітуду, що експоненційно простягається в заборонену область. Імовірність знайти частинку в основному стані за межами її класичних точок повороту становить близько 15,7%.

Густина ймовірності основного стану — це чистий гаусіан:

Це стан мінімальної невизначеності: добуток Δx Δp досягає своєї нижньої межі ℏ/2 точно для основного стану гармонічного осцилятора. Жоден інший квантовий стан не є одночасно настільки локалізованим і в положенні, і в імпульсі.

6. Драбинкові оператори

Елегантний алгебраїчний підхід дозволяє повністю уникнути розв'язування диференціальних рівнянь, вводячи оператори підвищення (народження) та зниження (знищення):

Ці оператори задовольняють канонічне комутаційне співвідношення [a⁻, a⁺] = 1 і діють на власні стани енергії так:

Гамільтоніан розкладається на множники як H = ℏω(a⁺a⁻ + 1/2), а оператор числа N = a⁺a⁻ має власні значення n. Увесь спектр генерується алгебраїчно: починаючи з a⁻|0⟩ = 0 і нормуючи, усі вищі власні стани випливають як |n⟩ = (a⁺)ⁿ |0⟩ / sqrt(n!).

7. Принцип відповідності

Принцип відповідності Нільса Бора вимагає, щоб квантова механіка зводилася до класичної механіки в границі великих квантових чисел. Для гармонічного осцилятора це чудово перевіряється. При великих n класичний розподіл ймовірності частинки, що коливається між точками повороту, такий:

Він розбігається в точках повороту x = ±xₙ, що відображає той факт, що частинка рухається там найповільніше та проводить найбільше часу поблизу своїх екстремумів. Зі зростанням n квантова густина ймовірності |ψₙ(x)|² набуває дедалі більшої кількості швидких коливань, які усереднюються до класичного розподілу при згладжуванні за кілька циклів коливань — явище, яке називають дефазуванням, або теоремою Еренфеста в дії.

Кількісно, коли n » 1, проміжок енергії ℏω стає незначним порівняно з повною енергією nℏω, тож спектр виглядає фактично неперервним з класичної точки зору. Квантово-класичний перехід не різкий, а відбувається плавно, коли довжина хвилі де Бройля стає набагато меншою за амплітуду коливань.

8. Фізичні застосування

Молекулярні коливання

Двоатомні молекули, такі як N₂ та HCl, коливаються поблизу своєї рівноважної довжини зв'язку в потенціальній ямі, яка приблизно гармонічна для малих зміщень. Коливальні рівні енергії Eₙ = ℏω(n + 1/2) безпосередньо спостерігаються в інфрачервоній спектроскопії як лінії поглинання, розташовані на відстані ℏω одна від одної. За кімнатної температури значно заселені лише кілька найнижчих рівнів, тож гармонічне наближення відмінне. Для великих зміщень справжній потенціал відхиляється (потенціал Морзе), що дозволяє молекулярну дисоціацію.

Фонони кристалічної ґратки

У твердому кристалі кожен атом коливається навколо свого рівноважного вузла ґратки. Розгляд ґратки як сукупності зв'язаних гармонічних осциляторів та діагоналізація системи дає нормальні моди, які називають фононами, кожна з квантами енергії ℏω. Теплоємність твердого тіла за низьких температур визначається цими фононними модами: модель Ейнштейна (усі моди на одній частоті) та модель Дебая (лінійна дисперсія) — обидві виводяться безпосередньо з енергетичного спектра квантового гармонічного осцилятора.

Квантові обчислення: надпровідні кубіти

Надпровідні кубіти, такі як трансмон, — це ангармонічні квантові осцилятори. Джозефсонівський перехід вносить нелінійну індуктивність, що нахиляє рівновіддалену гармонічну драбину в нерівновіддалену, дозволяючи селективне мікрохвильове адресування двопідрівневого підпростору |0⟩, |1⟩. Трансмон навмисно експлуатується в режимі, де резонансно збуджуються лише перші два рівні енергії, що робить його високоякісним штучним кубітом для квантових обчислень.