У 1964 році фізик Джон Белл вивів математичну нерівність, яку мусить задовольняти будь-яка теорія «локальних прихованих змінних» — ідея, що частинки несуть заздалегідь визначені відповіді на питання вимірювань, і жоден вплив не поширюється швидше за світло. Квантова механіка передбачає кореляції між заплутаними частинками, що порушують нерівність Белла, а відповідні досліди (Аспе, 1982; Хенсен, 2015 — без «лазівок») підтвердили квантове передбачення з великою статистичною значимістю. Версія CHSH: |S| ≤ 2 для будь-якої локально-реалістичної теорії; квантова заплутаність синглетного стану дає S = 2√2 ≈ 2,828 при оптимальних кутах вимірювань.
Ця симуляція дає можливість встановити кути вимірювань Аліси і Боба (a, a' та b, b') та накопичувати тисячі випробувань. Порівнюйте квантову (заплутана синглетна пара) і локально-прихованозмінну (детерміністичний прихований спін) моделі поруч і спостерігайте, як S сходиться до передбаченого значення.
Що таке квантова заплутаність?
Дві частинки заплутані, коли їхній квантовий стан не можна записати як добуток окремих станів — вимірювання однієї частинки миттєво визначає статистику результатів для іншої, незалежно від відстані між ними. Для синглетної пари (|↑↓⟩ – |↓↑⟩)/√2 вимірювання спіну вгору у Аліси гарантує спін вниз у Боба вздовж тієї самої осі. Ця кореляція сильніша за будь-що, досяжне стратегіями з попередньою домовленістю, що доводить теорема Белла.
Що таке нерівність CHSH?
S = E(a,b) – E(a,b') + E(a',b) + E(a',b'), де кожне E — кореляція між результатами вимірювань Аліси і Боба (кожен ±1) для відповідної пари кутів. Будь-яка локально-прихованозмінна теорія повинна давати |S| ≤ 2. Квантова механіка із синглетним станом дає E(a,b) = –cos(a – b), і при оптимальних кутах Белла (0°, 45°, 22,5°, 67,5°) це дає S = 2√2 ≈ 2,828 — явне порушення.
Чи означає порушення нерівності Белла передачу інформації швидше за світло?
Ні. Хоча результати вимірювань корельовані способом, не поясненим класичною інформацією, Аліса і Боб не можуть використовувати заплутаність для надсвітлового надсилання повідомлень. Кожен локальний результат залишається випадковим (50/50 для будь-якого окремого вимірювання), тому Боб не може видобути сигнал зі своїх результатів — він може виявити кореляції лише порівнявши нотатки з Алісою через звичайний (субсвітловий) канал.
Модель локальних прихованих змінних (ЛПЗ) припускає, що кожна частинка несе прихований внутрішній стан, встановлений у момент створення пари, і що цей стан детерміновано визначає результат будь-якого вимірювання. «Локальність» означає, що результат Аліси не залежить від налаштування Боба і навпаки. Белл довів, що будь-яка така модель дає |S| ≤ 2, тоді як квантова механіка передбачає S до 2√2. Досліди стабільно знаходять S ≈ 2,8, що виключає всі ЛПЗ-моделі.
Квантова кореляція синглетного стану E(a,b) = –cos(a – b). Максимізація S вимагає кутів, при яких косинуси поєднуються конструктивно. При a = 0°, b = 22,5°, a' = 45°, b' = 67,5° різниці кутів складають 22,5°, 67,5°, 22,5° і 22,5°. Підстановка в формулу дає S = 2√2 ≈ 2,828.
Ранні досліди мали лазівки: «лазівка детектора» (вимірюється лише частина фотонів — можливо, зміщена вибірка), «лазівка локальності» (детектори близько, тому субсвітловий сигнал міг донести налаштування Аліси до Боба), «лазівка вільної волі» (налаштування могли бути скорельовані зі скритими змінними). Дослід Делфтського університету 2015 року (Хенсен та ін.) закрив усі головні лазівки, використавши заплутані електрони в центрах NV на відстані 1,3 км, і отримав S = 2,42 ± 0,20.
Статистична значимість порушення зростає як √N. При N = 1 000 стандартна похибка S становить ~0,06, тож квантове порушення (S ≈ 2,83 проти класичної межі 2,0) знаходиться приблизно в 13 стандартних відхиленнях від класичного ліміту. Реальні досліди використовують мільйони випробувань і досягають p-значень менших за 10⁻¹⁵.
Так — фотони є найпоширенішим вибором для дослідів Белла, оскільки поляризаційну заплутаність легше створити методом спонтанного параметричного розщеплення. Аліса і Боб вимірюють поляризацію фотонів; поляризаційний світлоподільник і два детектори замінюють магніти Штерна–Герлаха. Кореляції підпорядковуються тій самій формулі CHSH із E(a,b) = –cos(2(a–b)) через фактор 2 у відображенні кутів поляризації.
Квантова нелокальність — назва для кореляцій між заплутаними частинками, що порушують нерівності Белла. Вона відрізняється від нелокальності у сенсі дії на відстані: жоден причинно-наслідковий вплив не поширюється між частинками, а кореляції виявляються лише у спільній статистиці, а не в жодному локальному спостережуваному.
Так — існує багато узагальнень. Нерівності Мерміна стосуються трьох і більше сторін і можуть бути порушені станами ГГЦ (Грінбергера–Горна–Цайлінгера) у міру, що експоненціально зростає з кількістю кубітів. Багаточастинкові нерівності Белла важливі для квантової криптографії та верифікації заплутаності без довіри до пристроїв.
Межа Цирельсона (1980) — максимальне значення S, досяжне будь-яким квантовим станом і будь-якими квантовими вимірюваннями: |S| ≤ 2√2 ≈ 2,828. Вона суворо лежить між класичною межею (2) і алгебраїчним максимумом (4). Те, що квантова механіка не дозволяє |S| = 4, означає, що вона не є «максимально нелокальною» — існують гіпотетичні теорії (наприклад, «коробки Попеску–Рорліха»), що порушують 2√2 при дотриманні принципу незасигналізованості.