Рівняння Шредінгера та хвильові пакети

1. Хвильова функція та густина ймовірності

У квантовій механіці частинка описується комплекснозначною хвильовою функцією Ψ(x, t). Фізичний зміст має густина ймовірності:

Хвильова функція безпосередньо не спостерігається. Лише |Ψ|² — ймовірність знайти частинку в інтервалі dx — має прямий фізичний зміст. Це правило Борна, запропоноване Максом Борном у 1926 році, було радикальним відходом від класичного детермінізму.

2. Часозалежне рівняння Шредінгера

Рівняння Шредінгера 1926 року керує тим, як Ψ еволюціонує в часі:

Коли потенціал V не залежить від часу, розв'язки розділяються:

Розв'язання ЧНРШ — це задача на власні значення: дозволені енергії E — це власні значення оператора Гамільтона Ĥ, а ψ(x) — відповідні власні функції (стаціонарні стани).

3. Оператори та спостережувані

Кожній фізичній спостережуваній відповідає ермітів оператор. Вимірювання дає одне власне значення; одразу після цього стан колапсує до відповідної власної функції:

4. Частинка в ящику

Найпростіша точно розв'язувана система: нескінченні потенціальні стінки при x = 0 та x = L змушують ψ(0) = ψ(L) = 0. Розв'язки — стоячі хвилі:

Ключові особливості:

• Квантовані енергії: дозволені лише дискретні E = n²E₁.
• Енергія нульових коливань: E₁ > 0 — частинка не може перебувати у стані спокою (невизначеність Гейзенберга).
• Вузли: ψₙ має (n−1) вузлів; більше n → коротша довжина хвилі → вища кінетична енергія.
• Ортонормованість: ∫ ψₘ*ψₙ dx = δₘₙ — власні стани утворюють повний базис.

Ця модель наближено описує спряжені π-системи у хімії (наприклад, β-каротин) та квантові ями у гетероструктурах напівпровідникових лазерів.

5. Квантове тунелювання та ВКБ

Частинка з енергією E < V₀ може проникати крізь скінченний потенціальний бар'єр — суто квантовий ефект без класичного аналога. Для прямокутного бар'єра шириною a:

Наближення ВКБ (Вентцеля-Крамерса-Бріллюена) узагальнює це на повільно змінні потенціали:

Тунелювання лежить в основі: альфа-розпаду (фактор Гамова), скануючої тунельної мікроскопії (СТМ), тунельних діодів (Есакі, Нобелівська премія 1958) та комірок флеш-пам'яті.

6. Хвильові пакети та принцип невизначеності

Гаусів хвильовий пакет — це локалізований квантовий стан, побудований із суперпозиції плоских хвиль:

У міру поширення пакета дисперсія спричиняє його розпливання:

Принцип невизначеності Гейзенберга Δx·Δp ≥ ℏ/2 — це не твердження про збурення під час вимірювання, а фундаментальна властивість усіх хвилеподібних систем. Вузький розподіл за координатою потребує широкого розкиду імпульсу й навпаки.

7. JavaScript — симуляція хвильового пакета

Поширення гаусового хвильового пакета методом розщеплення кроків Фур'є (чергування оновлень у координатному та імпульсному просторах) на дискретній сітці.

// Метод розщеплення кроків Фур'є для 1D ЧЗРШ (вільна частинка)
// Комплексні числа зберігаються чергуванням [re0, im0, re1, im1, ...]

function gaussianPacket(N, dx, x0, sigma, k0) {
  const psi = new Float64Array(N * 2);
  let norm = 0;
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    const x = (i - N / 2) * dx;
    const env = Math.exp(-(x - x0) ** 2 / (4 * sigma ** 2));
    psi[2 * i]     = env * Math.cos(k0 * x);
    psi[2 * i + 1] = env * Math.sin(k0 * x);
    norm += env ** 2;
  }
  norm = Math.sqrt(norm * dx);
  for (let i = 0; i < N * 2; i++) psi[i] /= norm;
  return psi;
}

// Наївне ДПФ для малих сіток (замініть на ШПФ для продакшену)
function dft(re, im, inverse) {
  const N = re.length;
  const sign = inverse ? 1 : -1;
  const oRe = new Float64Array(N), oIm = new Float64Array(N);
  for (let k = 0; k < N; k++) {
    for (let j = 0; j < N; j++) {
      const theta = sign * 2 * Math.PI * k * j / N;
      oRe[k] += re[j] * Math.cos(theta) - im[j] * Math.sin(theta);
      oIm[k] += re[j] * Math.sin(theta) + im[j] * Math.cos(theta);
    }
    if (inverse) { oRe[k] /= N; oIm[k] /= N; }
  }
  return [oRe, oIm];
}

function stepFreeParticle(psiRe, psiIm, dt, dx, mass) {
  const N = psiRe.length;
  const hbar = 1; // натуральні одиниці
  // Пряме ДПФ в імпульсний простір
  let [kRe, kIm] = dft(psiRe, psiIm, false);
  // Множимо на exp(−i ℏ k² dt / (2m)) для кожної імпульсної моди
  for (let j = 0; j < N; j++) {
    const kj = (j < N / 2) ? j : j - N; // центровані хвильові числа
    const kw = (hbar * kj ** 2 / (dx ** 2)) / (2 * mass);
    const phase = -kw * dt;
    const c = Math.cos(phase), s = Math.sin(phase);
    const r = kRe[j], im2 = kIm[j];
    kRe[j] = r * c - im2 * s;
    kIm[j] = r * s + im2 * c;
  }
  // Обернене ДПФ назад у координатний простір
  [psiRe, psiIm] = dft(kRe, kIm, true);
  return [psiRe, psiIm];
}

// Рівні енергії частинки в ящику (атомні одиниці: ℏ=m=1)
function boxEnergyLevels(L, n) {
  return Array.from({length: n}, (_, i) =>
    (Math.PI ** 2 * (i + 1) ** 2) / (2 * L ** 2)
  );
}
console.log('Рівні в ящику (L=10):', boxEnergyLevels(10, 5));

// Коефіцієнт тунелювання за ВКБ для прямокутного бар'єра
function wkbTunnelling(E, V0, a, m, hbar = 1) {
  if (E >= V0) return 1; // класичне проходження
  const kappa = Math.sqrt(2 * m * (V0 - E)) / hbar;
  return Math.exp(-2 * kappa * a);
}
console.log('T (E=0.5, V=1, a=2):', wkbTunnelling(0.5, 1, 2, 1).toFixed(4));

8. Застосування

• Скануючий тунельний мікроскоп (СТМ): вимірює тунельний струм, щоб отримувати зображення окремих атомів із субангстремною роздільною здатністю.
• Флеш-пам'ять та тунельні діоди: заряд тунелює крізь тонкі оксидні бар'єри для програмування комірок NAND.
• Квантові ями та лазери: гетероструктури GaAs/AlGaAs утримують електрони в нанометрових ямах; переходи дають когерентне лазерне світло.
• Ядерний синтез: протон-протонний синтез на Сонці відбувається через тунелювання крізь кулонівський бар'єр за температур приблизно у 10 разів нижчих, ніж потрібно класично.
• Молекулярні зв'язки: рівняння Шредінгера для H₂ дає довжини зв'язків, енергії та коливальні спектри з перших принципів.