Дифузія кисню в тканинах — модель циліндра Крога

1. Перший закон дифузії Фіка

Адольф Фік описав дифузійний перенос ще у 1855 році: потік розчиненої речовини пропорційний локальному градієнту концентрації. Для кисню, що перетинає тонкий шар тканини:

Мінус у формулі означає, що потік завжди рухається від високої концентрації до низької — O₂ завжди тече з багатого на кисень просвіту капіляра (артеріальний PO₂ ≈ 100 мм рт. ст.) до бідних на кисень мітохондрій (PO₂ у точці споживання може падати до 1–3 мм рт. ст.), і ніколи навпаки, як того вимагає другий закон термодинаміки.

2. Чому дифузія швидка на мікронному масштабі і марна на сантиметровому

Час, за який частинка, що дифундує, долає відстань L, масштабується з L², а не з L — саме ця квадратична залежність є головною причиною, чому багатоклітинним організмам взагалі потрібна кровоносна система:

Блок тканини, розташований далі приблизно за півміліметра від найближчого капіляра, не може підтримувати оксигенацію лише за рахунок дифузії при типових метаболічних швидкостях — саме це одне число, а не якась екзотична біологія, визначає густину капілярів приблизно один судина кожні 20–50 мкм у більшості тканин, і є головним конструктивним обмеженням, для подолання якого існує конвекція (кровотік): циркуляція доставляє O₂ на відстань сантиметрів чи навіть метрів зі швидкістю об'ємного потоку, а дифузія довершує справу лише на останніх десятках мікрометрів.

3. Модель циліндра Крога

Август Крог (1874–1949, Нобелівська премія з фізіології або медицини 1920 року) змоделював тканину як концентричні циліндри навколо кожного капіляра, кожен з яких постачає O₂ до фіксованого радіуса r_t, за яким починається територія наступного капіляра:

Добуток D·α називають коефіцієнтом дифузії Крога, K = D·α, і саме це та єдина емпірична константа, яку Крог виміряв безпосередньо, хронометруючи поглинання бульбашки желатином і м'язовою тканиною — вона об'єднує два невідомих (наскільки швидко рухається O₂ і скільки його розчиняється) в одне вимірюване число.

4. Розчинність кисню та коефіцієнт дифузії Крога

5. Гемоглобін: кисневий буфер

Вільний розчинений O₂ у плазмі не здатний забезпечити потреби організму — літр крові переносить лише ≈ 3 мл розчиненого O₂ при артеріальному PO₂, порівняно з ≈ 200 мл, зв'язаного з гемоглобіном. Саме сигмоподібна крива дисоціації оксигемоглобіну робить цей буфер ефективним у всьому діапазоні PO₂, який трапляється в організмі:

Крута середня ділянка сигмоїди (приблизно 20–60 мм рт. ст.) припадає саме на той діапазон, де відбувається падіння PO₂ від капіляра до тканини, тому невеликі зміни тканинного PO₂ вивільняють порівняно велику кількість O₂ — форма самої кривої є адаптацією, яка підтримує високий рушійний градієнт для дифузії за Фіком уздовж усієї довжини капіляра, замість того щоб він рано обнулявся.

6. «Смертельний кут» і тканинна гіпоксія

Поєднання профілю Крога–Ерланга з падінням PO₂ вздовж довжини капіляра (у міру екстракції O₂ від артеріального до венозного кінця) дає двовимірну карту оксигенації тканини. Найнижчий PO₂ у всьому циліндрі спостерігається на венозному кінці, на найвіддаленішому радіусі від капіляра — «смертельний кут» Крога:

Фізіологічні відповіді на дифузійне обмеження:

• Рекрутування капілярів: у стані спокою м'яз перфузує лише частину свого капілярного русла; навантаження відкриває сплячі капіляри, зменшуючи r_t і підвищуючи мінімальний тканинний PO₂.
• Ангіогенез (шлях VEGF): хронічна гіпоксія (стабілізація HIF-1α) запускає ріст нових капілярів, стабільно зменшуючи дифузійну відстань — той самий шлях, який пухлини «викрадають», щоб уникнути дифузійних обмежень.
• Буферизація міоглобіном: запасає O₂ внутрішньоклітинно і згладжує тимчасові невідповідності постачання/потреби протягом циклів скорочення.
• Еритропоез: хронічна гіпоксія (висота над рівнем моря, анемія) підвищує гематокрит, збільшуючи кисневу ємність на літр крові, а не саму дифузійну відстань.

7. JavaScript-симулятор циліндра Крога

// Циліндр Крога: стаціонарний радіальний профіль PO2 навколо капіляра
// P(r) = Pc - (M / (4*D*alpha)) * [r^2 - rc^2 - 2*rt^2*ln(r/rc)]

function kroghProfile({
  Pc    = 40,        // PO2 на стінці капіляра [мм рт. ст.]
  rc    = 3e-4,     // радіус капіляра [см] (~3 мкм)
  rt    = 2.5e-3,   // радіус тканинного циліндра [см] (~25 мкм)
  M     = 2e-4,     // споживання O2 [мл O2 / (мл тканини . с)]
  D     = 1.7e-5,   // коефіцієнт дифузії [см^2/с]
  alpha = 2.4e-5    // розчинність [мл O2 / (мл . мм рт. ст.)]
} = {}, samples = 40) {
  const K = D * alpha; // коефіцієнт дифузії Крога
  const profile = [];
  for (let i = 0; i <= samples; i++) {
    const r = rc + (rt - rc) * (i / samples);
    const term = r**2 - rc**2 - 2 * rt**2 * Math.log(r / rc);
    const P = Pc - (M / (4 * K)) * term;
    profile.push({ r_um: (r * 1e4).toFixed(1), P_mmHg: Math.max(0, P).toFixed(2) });
  }
  return profile;
}

// Максимальний придатний радіус тканини: знайти rt, де P(rt) щойно досягає 0
function maxRadius(Pc, rc, M, K, tolerance = 1e-6) {
  let lo = rc, hi = rc * 50;
  function Pboundary(rt) {
    const term = rt**2 - rc**2 - 2 * rt**2 * Math.log(rt / rc);
    return Pc - (M / (4 * K)) * term;
  }
  while (hi - lo > tolerance) {
    const mid = (lo + hi) / 2;
    if (Pboundary(mid) > 0) lo = mid; else hi = mid;
  }
  return lo; // [см]
}

const profile = kroghProfile({});
const minP = Math.min(...profile.map(p => +p.P_mmHg));
console.log(`Мінімальний PO2 тканини (смертельний кут): ${minP.toFixed(1)} мм рт. ст.`);

const K = 1.7e-5 * 2.4e-5;
const rMax = maxRadius(40, 3e-4, 2e-4, K);
console.log(`Критичний радіус до аноксії: ${(rMax * 1e4).toFixed(1)} мкм`);

8. Фізіологічні та клінічні наслідки