Течія крові та закон Пуазейля — механіка рідин у кровообігу

1. Виведення течії Пуазейля

Для в'язкої, нестисливої, стаціонарної ламінарної течії в циліндричній трубі рівняння Нав'є-Стокса зводяться до радіального ЗДР:

2. Закон четвертого степеня

3. Кров як неньютонівська рідина

Цільна кров не підкоряється закону в'язкості Ньютона (η = стала) — це суспензія, що розріджується при зсуві:

4. Судинне дерево та закон Мюррея

5. Модель Віндкесселя пружності артерій

6. Турбулентність та тони серця

7. Симулятор судинної мережі на JavaScript

// Судинна мережа моделюється як мережа резисторів
// Вузли: значення тиску; Ребра: сегменти судин з опором за Пуазейлем

function poiseuille_resistance(radius, length, viscosity = 0.003) {
  // η_blood ≈ 3 мПа·с, повертає опір [Pa/(m³/s)]
  return (8 * viscosity * length) / (Math.PI * radius ** 4);
}

// Просте дерево розгалуження: серце → аорта → артерії[2] → артеріоли[4]
function buildVascularTree(r0 = 0.015, L0 = 0.3, generations = 4) {
  const vessels = [];
  function branch(r, L, parentPressure, depth) {
    const R_h = poiseuille_resistance(r, L);
    vessels.push({ r, L, R_h, depth });
    if (depth < generations) {
      const r_child = r / Math.pow(2, 1/3); // закон Мюррея, біфуркація
      branch(r_child, L * 0.7, parentPressure, depth + 1);
      branch(r_child, L * 0.7, parentPressure, depth + 1);
    }
  }
  branch(r0, L0, 13330, 0); // 100 мм рт. ст. тиск аорти у Pa
  return vessels;
}

// Двоелементна модель Віндкесселя
function windkessel({
  C = 7.5e-9,    // пружність артерій [m³/Pa]
  R = 1e8,       // периферійний опір [Pa·s/m³]
  P0 = 10600,    // діастолічний тиск [Pa] ≈ 80 мм рт. ст.
  HR = 70,       // частота серцевих скорочень [уд/хв]
  SV = 70e-6     // ударний об'єм [m³] = 70 мл
}, steps = 2000) {
  const dt = 0.001; // 1 мс
  const T = 60 / HR; // серцевий період [s]
  const t_sys = T * 0.35; // тривалість систоли ≈ 35% циклу
  const Q_peak = SV / (t_sys * 0.5); // трикутний викид

  let P = P0, t = 0;
  const record = [];

  for (let i = 0; i < steps; i++) {
    const t_in_cycle = t % T;
    let Q_in = 0;
    if (t_in_cycle < t_sys) {
      // Трикутний імпульс: зростання до Q_peak, потім спад
      Q_in = Q_peak * (1 - Math.abs(2*t_in_cycle/t_sys - 1));
    }
    const dP = (Q_in - P/R) / C;
    P += dP * dt;
    t += dt;
    if (i % 10 === 0) record.push({t: t.toFixed(3), P_mmHg: (P/133.3).toFixed(1)});
  }
  return record;
}

const pulse = windkessel({});
console.log(`Піковий P: ${Math.max(...pulse.map(p => +p.P_mmHg)).toFixed(0)} мм рт. ст. (систолічний)`);

8. Клінічна патологія