Орбітальні переходи — Гоман, біеліптичний та гравітаційний маневр

3D Simulations

Орбітальна механіка · Космічна фізика

📅 Березень 2026⏱ 20 хв читання🚀 Аерокосмос · Останнє оновлення: 28 травня 2026 р.

Орбітальні переходи — Гоман, біеліптичний та гравітаційний маневр

Як космічний апарат дістається з низької навколоземної орбіти до Марса, Юпітера чи міжзоряного простору, спалюючи якнайменше палива? Відповідь криється в законах Кеплера та рівнянні vis-viva — єдиній формулі, що визначає швидкість, потрібну в кожній точці будь-якої орбіти.

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

1. Рівняння vis-viva

Будь-який розрахунок орбітальної механіки зводиться до одного рівняння — збереження енергії на кеплерівській орбіті. Для космічного апарата на відстані r від центрального тіла на еліпсі з великою піввіссю a:

v² = GM \cdot (2/r - 1/a) v = орбітальна швидкість на відстані r (м/с) GM = гравітаційний параметр (3.986 \times 10¹⁴ м³/с² для Землі) r = поточна відстань від центру (м) a = велика піввісь орбіти (м) Окремі випадки: Колова орбіта (r = a): v_c = \sqrt(GM/r) Друга космічна швидкість: v_e = \sqrt(2GM/r) = v_c \cdot \sqrt2

Дельта-V (Δv) для будь-якого маневру — це просто різниця орбітальних швидкостей у точці запуску двигуна. Рівняння Ціолковського потім переводить Δv у масу палива.

2. Перехід Гомана

Перехід Гомана — це двоімпульсний перехід із мінімальною енергією між двома коловими компланарними орбітами. Він використовує одну еліптичну перехідну орбіту, що з’єднує дві колові орбіти у своєму перицентрі й апоцентрі.

Велика піввісь перехідної орбіти: a_t = (r₁ + r₂) / 2 Імпульс 1 (перицентр, підняття апоцентра): v_t1 = \sqrt(GM \cdot (2/r₁ - 1/a_t)) v_c1 = \sqrt(GM/r₁) Δv₁ = v_t1 - v_c1 Імпульс 2 (апоцентр, скруглення орбіти): v_t2 = \sqrt(GM \cdot (2/r₂ - 1/a_t)) v_c2 = \sqrt(GM/r₂) Δv₂ = v_c2 - v_t2 Усього: Δv_total = |Δv₁| + |Δv₂| Час переходу (половина періоду еліпса): t = π \cdot \sqrt(a_t³ / GM)

Земля – Марс (приблизно): r₁ = 1.0 а. о., r₂ = 1.524 а. о. Загальна Δv ≈ 5.6 км/с (від поверхні Землі до виходу на траєкторію до Марса, включно з подоланням земної гравітації). Час переходу ≈ 259 днів (8.5 місяця) — саме стільки зазвичай тривають місії до Марса.

Чому перехід Гомана має мінімальну енергію? Додавання швидкості в перицентрі найефективніше піднімає апоцентр; гальмування в апоцентрі найефективніше скруглює орбіту. Будь-яка інша двоімпульсна стратегія виконує більше роботи, бо застосовує тягу в менш оптимальних точках.

3. Біеліптичний перехід

Дивно, але для дуже великих змін співвідношення орбіт (r₂/r₁ > 11.94) триімпульсний біеліптичний перехід витрачає меншу сумарну Δv, ніж Гоман, попри довший шлях. Маршрут такий: r₁ → дуже високий апоцентр r_b → r₂.

Імпульси: Δv₁ = v на r₁ на перехідній орбіті 1 - v_c1 (на r₁, підняття до r_b) Δv₂ = v на r_b на перехідній орбіті 2 - v на r_b на орбіті 1 (на r_b, ціль r₂) Δv₃ = v_c2 - v на r₂ на перехідній орбіті 2 (скруглення орбіти) Час переходу: t = (T₁ + T₂) / 2 T₁ = π\sqrt((r₁ + r_b)³ / (8GM)), T₂ = π\sqrt((r₂ + r_b)³ / (8GM))

Підступ: час подорожі набагато довший (роки для великих r_b). Тому біеліптичний перехід застосовують лише тоді, коли пальне є головним обмеженням, а час — ні; наприклад, для великих змін позицій супутникових сузір’їв або міжпланетних зондів, що мають достатньо часу.

Співвідношення орбіт r₂/r₁	Переможець	Економія
< 11.94	Гоман	Гоман дешевший на кілька %
= 11.94	Нічия	Однаково за умови r_b → ∞
> 15.58	Біеліптичний завжди виграє	До ~8% економії для r₂/r₁ = 1000

4. Гравітаційний маневр (swing-by)

Гравітаційний маневр використовує гравітаційну яму та орбітальну швидкість планети, щоб відхилити й розігнати космічний апарат — без жодного палива. У системі відліку планети апарат входить і виходить з однаковою швидкістю (пружне розсіяння). У системі відліку Сонця апарат набуває (або втрачає) кінетичну енергію, що дорівнює роботі, виконаній гравітацією планети вздовж дуги прольоту.

Максимальний приріст швидкості (прямий проліт, узгоджений зі швидкістю планети): Δv_max \approx 2 \cdot v_planet \cdot sin(δ/2) v_planet = орбітальна швидкість планети навколо Сонця δ = кут відхилення = 2\cdotarcsin(r_periapsis / (r_periapsis + b)) b = параметр гіперболічної надлишкової швидкості r_soi \times (1 + 2GM_planet / (r_soi \cdot v_inf²)) Спрощено: для апарата, що входить зі швидкістю v_inf (гіперболічна надлишкова швидкість): v_exit = v_inf + 2\cdotv_planet для ідеально узгодженого прямого прольоту (теоретичний максимум)

Voyager 1 застосував гравітаційний маневр біля Юпітера у 1979 році, щоб дістатися Сатурна, а потім ще один біля Сатурна для виходу за межі системи. Voyager 2 скористався Юпітером, Сатурном, Ураном і Нептуном (Великий тур). Уся енергія надійшла від планет, які при цьому сповільнилися на непомітно мізерну величину.

JUICE (ESA, 2023) використовує складну послідовність: проліт біля системи Земля–Місяць → Венера → Земля → знову проліт біля Землі, розганяючись, щоб дістатися Юпітера у 2031 році. Проліт біля Венери виглядає контрінтуїтивним (гальмування), але дозволяє ефективнішу геометрію траєкторії.

5. Ефект Оберта

Запуск ракетного двигуна на високій швидкості дає більше корисної кінетичної енергії, ніж той самий запуск на низькій швидкості. Кінетична енергія апарата пропорційна v² — тож та сама Δv, додана на високій швидкості, дає більше абсолютної енергії.

ΔKE = ½m(v + Δv)² - ½mv² = m\cdotv\cdotΔv + ½m\cdot(Δv)² Для Δv ≪ v: ΔKE \approx m\cdotv\cdotΔv (пропорційно до поточної швидкості!) Виграш Оберта від запуску в перицентрі порівняно із запуском в апоцентрі за тієї самої Δv: Відношення \approx v_periapsis / v_apoapsis = a_result(1+e) / a_result(1-e)

Саме тому імпульси виходу на траєкторію до Місяця відбуваються поблизу Землі (найшвидша точка опорної орбіти), і саме тому ракета, що прямує до Юпітера, запускає двигун у точці найближчого підходу до Сонця. Кожен км/с Δv, доданий у перицентрі, виконує більше роботи з підняття орбіти, ніж та сама Δv, застосована далі.

Оберт + гравітаційний маневр разом: маневр Оберта всередині гравітаційної ями планети (запуск двигуна в точці найближчого підходу під час гравітаційного маневру) поєднує обидва ефекти для максимальної ефективності. Застосовується у місіях з прольотом біля Місяця та пропонується для орбітальних апаратів навколо Плутона.

6. Бюджети дельта-V

Маневр	Δv (км/с)	Примітки
Поверхня → НЗО (200 км)	9.4	Включає гравітаційні втрати й опір повітря (~1.5 км/с надлишку)
НЗО → ГСО	4.2	Два імпульси Гомана; час польоту 3× Falcon 9
НЗО → вихід на траєкторію до Марса	3.6	Відліт із загальною швидкістю ~11.2 км/с від Землі
Вихід на орбіту Марса	0.9	Аеродинамічне гальмування економить найбільше; ракети витрачають ~1.5
НЗО → вихід на траєкторію до Юпітера	6.3	На практиці зазвичай потребує гравітаційних маневрів
Вихід за межі тяжіння Землі (C3 = 0)	3.22 з НЗО	Загальна геоцентрична: 11.2 км/с від r=6578 км
Вихід на орбіту Місяця	0.8–1.0	Залежить від висоти над Місяцем і кута підходу

7. Приклади реальних місій

Apollo (1969–72) — вихід на траєкторію до Місяця з опорної орбіти НЗО; гальмівний імпульс виходу на орбіту Місяця (850 м/с); керований спуск (1.7 км/с). Загалом від НЗО ≈ 3.7 км/с, щоб дістатися поверхні Місяця.
Voyager 1 і 2 (1977) — гравітаційні маневри Великого туру. Обидва нині поза геліопаузою (~22 мільярди км). Voyager 1 — найвіддаленіший рукотворний об’єкт.
Cassini (1997–2017) — 6.7-річна подорож до Сатурна через гравітаційні маневри біля Венери ×2, Землі та Юпітера. Прибув у 2004 році. Вийшов на орбіту Сатурна з гальмівним імпульсом 622 м/с.
Rosetta (2004–2016) — три прольоти біля Землі, один проліт біля Марса, щоб досягти комети 67P. Перший апарат, що вийшов на орбіту комети й сів на неї.
Parker Solar Probe (2018–) — використовує кілька прольотів біля Венери, щоб поступово зменшити перигелій до 6.9 сонячного радіуса. Зі зменшенням перигелію орбітальна швидкість зростає — використовуючи ефект Оберта з кожним наступним прольотом.