Методи симуляції рідини — SPH проти LBM проти MPM проти FEM

3D Simulations

Обчислювальна фізика · Гідродинаміка

📅 Березень 2026⏱ 22 хв читання🌊 Фізика / Симуляція · Останнє оновлення: 28 травня 2026 р.

Методи симуляції рідини — SPH проти LBM проти MPM проти FVM

Кожен симулятор рідини робить фундаментальний вибір: представляти рідину як дискретні частинки (лагранжів підхід), як значення на фіксованій сітці (ейлерів підхід), або як гібрид. Кожен вибір визначає точність, розпаралелюваність і те, які явища можна відтворити. Ця стаття оглядає чотири домінантні підходи в іграх, VFX та науковому програмуванні.

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

1. Лагранжів проти ейлерового підходу

Усі методи симуляції рідини можна класифікувати за їхньою системою відліку:

Лагранжів: Відстежує елементи рідини, поки вони рухаються. Кожна частинка несе масу, швидкість, тиск. Сітка (якщо вона є) рухається разом із рідиною. Адвекція тривіально точна; інтерполяція — складна частина.
Ейлерів: Фіксує сітку та спостерігає, як властивості рідини протікають крізь неї. Проєкція тиску та бездивергентні поля швидкості розв'язуються для кожної комірки. Підходить для великомасштабних усталених потоків; адвекція потребує керування чисельною дифузією.
Гібридний (FLIP, APIC, MPM): Частинки несуть стан; фонова сітка накопичує та проєктує сили. Поєднує переваги обох коштом накладних витрат на передачу.

2. SPH — згладжена гідродинаміка частинок

SPH представляє рідину як набір частинок. Кожна властивість (густина, швидкість, тиск) інтерполюється від сусідів за допомогою згладжувального ядра W(r, h). Спочатку розроблений для астрофізичної газової динаміки (Gingold та Monaghan, 1977), нині він повсюдно поширений у симуляціях води та лави в реальному часі.

Оцінка густини SPH у частинці i: ρᵢ = Σⱼ mⱼ \cdot W(|rᵢ - rⱼ|, h) Сила тиску SPH: Fᵢ_тиску = -mᵢ Σⱼ mⱼ (Pᵢ/ρᵢ² + Pⱼ/ρⱼ²) \cdot \nablaW(rᵢⱼ, h) Зазвичай: W = ядро Poly6 для густини, ядро Spiky для градієнта тиску (Müller та ін., 2003 "Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications")

Переваги

Вільні поверхні обробляються природно — не потрібно відстежувати поверхню води
Легко реалізувати з нуля (проєкт на вихідні)
Природно обробляє великі деформації — без заплутування сітки
Дружній до GPU із прискоренням через просторове хешування

Недоліки

Проблема нестисливості: WCSPH використовує жорстке рівняння стану (висока швидкість звуку), що потребує дуже малих кроків часу. PCISPH / DFSPH (2019) розв'язують тиск ітеративно на кожному кроці для майже нестисливих результатів за більшого dt.
Зашумлені оцінки густини в розріджених за частинками областях
O(N log N) на крок із просторовим хешуванням; O(N²) у наївному підході

Використовуйте SPH, коли: вам потрібні вільні поверхні, бризки, взаємодія рідина-тверде тіло, і ви можете терпіти злегка стисливі артефакти. Використовується в: іграх (Nvidia FleX, позиційні рідини), астрофізиці, симуляції океану.

3. LBM — метод ґраткового Больцмана

LBM працює на мезоскопічному масштабі — між молекулярною динамікою та рівняннями Нав'є-Стокса. Рідина моделюється як функції щільності ймовірності частинок f_i, що течуть між фіксованими комірками сітки та стикаються локально. Макроскопічні змінні рідини виникають із моментів f.

Оновлення LBM (зіткнення BGK): fᵢ(x + cᵢΔt, t + Δt) = fᵢ(x, t) - (1/τ)(fᵢ - fᵢᵉq) τ = час релаксації (керує в'язкістю: ν = (τ - 0.5)/3 в ґраткових одиницях) fᵢᵉq = рівноважний розподіл Максвелла-Больцмана Ґратка D2Q9: 9 напрямків швидкості у 2D (8 діагональних/кардинальних + спокій) Ґратка D3Q19: 19 напрямків швидкості у 3D

Переваги

Надзвичайно розпаралелюваний — кожна комірка оновлюється незалежно від сусідів; ідеальний для GPU
Обробляє складну геометрію без генерації сітки (гранична умова відбивання)
Проста реалізація багатофазних потоків, пористих середовищ
Використовується в промисловому CFD для внутрішніх потоків із високим Re (PowerFLOW від Exa/3DS)

Недоліки

Обмежений нестисливими потоками з низьким числом Маха (Ma < ~0.3) у стандартному формулюванні
Вільні поверхні потребують складних розширень Volume-of-Fluid або LBM з вільною поверхнею
Сітка зберігає 19–27 чисел із рухомою комою на комірку (D3Q27) — вимоглива до пам'яті за високої роздільної здатності
Налаштування в'язкості через τ може стати чисельно нестабільним за τ дуже близького до 0.5

Використовуйте LBM, коли: вам потрібні внутрішні потоки з високим Re (канали, навколо аеродинамічних форм), потоки в пористих середовищах або ви хочете максимальної утилізації GPU. Симуляція ґраткового Больцмана на цьому сайті використовує D2Q9.

4. MPM — метод матеріальної точки

MPM, розроблений Sulsky та ін. (1994) і популяризований Disney Research для "Крижаного серця" (2013), є гібридним лагранжево-ейлеровим методом. Частинки несуть масу та градієнт деформації; фонова сітка накопичує сили, розв'язує імпульс і передає швидкості назад частинкам.

Цикл MPM на крок часу: 1. P2G: Розкидання маси/імпульсу частинок на вузли сітки (білінійна інтерполяція) 2. Оновлення сітки: Застосування сил, граничних умов, інтегрування швидкостей 3. G2P: Збирання нових швидкостей назад до частинок (передача APIC / FLIP) 4. Адвекція: Переміщення частинок: x_p += v_p \cdot dt 5. Оновлення градієнта деформації F через градієнт швидкості із сітки

Переваги

Обробляє сніг, пісок, слиз, пасту, тканину та рідину з єдиною кодовою базою — достатньо змінити визначальну модель (пружнопластичність, в'язкопластичність, нео-гуківська)
Без заплутування сітки — сітка є фіксованою фоновою структурою
Використовується у великих VFX для снігу (Крижане серце), бруду (Відважна), піску (Моана)

Недоліки

Передачі P2G/G2P вносять чисельну дифузію; APIC (Jiang 2015) та PolyPIC значно покращують це
Розмір комірки сітки обмежує роздільну здатність; адаптивні/вкладені сітки складні
Більша складність реалізації, ніж у SPH

5. FVM / FEM — сіткові (Нав'є-Стокс безпосередньо)

Класичний ейлерів CFD дискретизує рівняння Нав'є-Стокса безпосередньо на сітці за допомогою методів скінченних об'ємів (FVM) або скінченних елементів (FEM). Зв'язок швидкості й тиску забезпечується через рівняння Пуассона, що розв'язується на кожному кроці часу (метод проєкції Чоріна).

Нестисливі рівняння Нав'є-Стокса: \partialu/\partialt + (u\cdot\nabla)u = -(1/ρ)\nablaP + ν\nabla²u + f (імпульс) \nabla\cdotu = 0 (нестисливість) Проєкція Чоріна: 1. Адвекція та дифузія: u* = u + dt(-(u\cdot\nabla)u + ν\nabla²u + f) 2. Розв'язання рівняння Пуассона для тиску: \nabla²P = (ρ/dt)\nabla\cdotu* 3. Проєкція: u^(n+1) = u* - (dt/ρ)\nablaP

Переваги

Найбільш фізично точний для добре роздільних потоків
Багата література, зрілі розв'язувачі (OpenFOAM, Fluent, SU2)
Точно зберігає масу, імпульс, енергію (за правильного формулювання)

Недоліки

Вільні поверхні потребують відстеження методом level set або VOF — значний обсяг додаткового кодування
Генерація сітки для складної геометрії є значним інженерним зусиллям
Розв'язання тиску погано масштабується з роздільною здатністю (розв'язувач розрідженої лінійної системи)

6. Таблиця порівняння

Метод	Сімейство	Вільні поверхні	Паралелізм	Нестисливість	Найкраще для
SPH / DFSPH	Лагранжів	✅ Природні	Добрий (GPU-хеш)	⚠️ Ітеративна	Бризки води, лава, астрофізика
LBM	Мезоскопічна сітка	⚠️ Потрібне розширення	✅ Відмінний (1 комірка = 1 потік)	✅ Вбудована	Аеродинаміка, пористі середовища, промисловий CFD
MPM / APIC	Гібридний	✅ Природні	Добрий	Залежить від визначального закону	Сніг, пісок, бруд, багатоматеріальні VFX
FVM (проєкція)	Ейлерова сітка	⚠️ Потрібен level set	Помірний (розріджений розв'язок)	✅ Забезпечена проєкцією	Інженерний CFD, усталені потоки
FLIP / PIC	Гібридний	✅ Природні	Добрий	Проєкція на сітку	Великомасштабні рідини (Houdini FLIP)

7. Як обрати

Ігрова рідина в реальному часі (вода, ~1K–100K частинок): SPH або позиційні рідини (PBF). Швидко реалізувати, дружні до GPU, візуально переконливі вільні поверхні.
Симуляція аеродинаміки з високим Re: LBM. PowerFLOW/XFlow використовують LBM для симуляцій автомобілів/літаків аж до Re = 10⁷ на GPU-кластерах.
Сніг/пісок/паста у VFX чи іграх: MPM. Модель снігу від Disney (Stomakhin 2013) є відкритою як еталон.
Наукова точність, турбулентність: FVM з RANS/LES (OpenFOAM). Потоки з високим Re потребують моделей турбулентності, які SPH та LBM можуть наблизити, але не зрівнятися з ними.
Дим/вогонь у реальному часі: сітковий ейлерів (Jos Stam 1999 "Stable Fluids"). Напівлагранжева адвекція уникає обмеження кроку часу за умовою CFL; галузевий стандарт.