Точки Лагранжа L4 та L5 — єдині дві, що справді стабільні

1. П'ять точок Лагранжа

В обмеженій задачі трьох тіл безмасове третє тіло обертається в комбінованому гравітаційному полі двох великих мас M₁ (наприклад, Сонця) та M₂ (наприклад, планети), які самі обертаються навколо спільного центру мас. У системі відліку, що обертається разом з ними, існує п'ять точок, де третє тіло може залишатися нерухомим відносно двох великих мас.

2. Ефективний потенціал в обертовій системі відліку

У системі відліку, що обертається разом з двома великими тілами, гравітація поєднується з відцентровим доданком, утворюючи ефективний потенціал. Точки Лагранжа — це його критичні точки, але критичні точки можуть бути максимумами, мінімумами або сідлами, і лише справжні мінімуми (у відповідному сенсі) виживають при реальних збуреннях.

3. Критерій стабільності

Лінеаризація рівнянь руху навколо L4/L5 із врахуванням залежної від швидкості сили Коріоліса дає умову стабільності, яка залежить лише від співвідношення мас двох великих тіл.

4. Як сила Коріоліса рятує L4/L5

У L4/L5 сам ефективний потенціал — локальний максимум: куля, розміщена там, зазвичай скотилася б у будь-якому напрямку, що виглядає нестабільно. Але будь-який об'єкт, що починає дрейфувати, набуває швидкості в обертовій системі відліку, і щойно з'являється швидкість, діє сила Коріоліса, перпендикулярна цій швидкості.

5. JavaScript-перевірка стабільності

// Перевірка лінійної стабільності L4/L5 для будь-якого співвідношення мас двох тіл
function isL4L5Stable(m1, m2) {
  const mu = m2 / (m1 + m2); // частка меншої маси
  const muCrit = 0.5 * (1 - Math.sqrt(23 / 27)); // ≈ 0.03852
  return { mu, muCrit, stable: mu < muCrit };
}

const systems = {
  "Сонце-Юпітер": [1.989e30, 1.898e27],
  "Сонце-Земля":   [1.989e30, 5.972e24],
  "Земля-Місяць": [5.972e24, 7.348e22],
  "Плутон-Харон": [1.303e22, 1.586e21],
};

for (const [name, [m1, m2]] of Object.entries(systems)) {
  const { mu, stable } = isL4L5Stable(m1, m2);
  console.log(`${name}: mu=${mu.toExponential(3)} stable=${stable}`);
}
// Сонце-Юпітер: stable=true, Сонце-Земля: stable=true,
// Земля-Місяць: stable=true, Плутон-Харон: stable=false

6. Троянці, пуголовки та космічні колонії