Параболічний профіль Пуазейля · Пульсуюча течія · Стеноз · НЗС
Інтерактивний симулятор гемодинаміки: параболічний профіль швидкості за Пуазейлем, пульсуючий потік, вплив стенозу на швидкість та напруга зсуву стінки кровоносних судин.
Ламінарний кровотік підпорядковується закону Пуазейля: Q = πr⁴ΔP / (8μL). Звуження судини (стеноз) прискорює кров, збільшуючи напругу зсуву та ризик розриву бляшки.
Регулюйте радіус судини та тиск крові. Додайте стеноз для спостереження прискорення потоку. Напруга зсуву стінки (WSS) оновлюється в реальному часі.
Швидкість крові в центрі судини приблизно вдвічі перевищує середню. При 50% стенозі швидкість може зрости в 4 рази, а напруга зсуву — в 8 разів через четвертий ступінь залежності від радіуса.
Ця симуляція моделює ламінарний кровотік у циліндричній судині за законом Гагена–Пуазейля, Q = πr⁴ΔP / (8ηL), де об'ємна витрата залежить від радіуса, перепаду тиску, в'язкості та довжини судини. Програма відображає характерний параболічний профіль швидкості u(r) ∝ (1 − r²/R²), за яким потік найшвидший у центрі і дорівнює нулю біля стінки, та показує поздовжній і поперечний перерізи судини.
Повзунки задають радіус R, відсоток стенозу, довжину L, рушійний тиск ΔP, в'язкість крові η, частоту серцевих скорочень і пульсову амплітуду. Кнопки перемикають між поздовжнім і поперечним виглядами, а також між пульсуючим і стаціонарним режимами. Результати в реальному часі відображають витрату Q, пікову швидкість, напругу зсуву стінки та число Рейнольдса. Ці принципи гемодинаміки лежать в основі клінічної оцінки артеріального звуження, атеросклерозу та механічних напружень, що спричиняють розрив бляшки.
Що показує ця симуляція течії крові?
Симуляція відображає ламінарний кровотік у судині з класичним параболічним профілем швидкості: потік найшвидший у центрі і сповільнюється до нуля біля стінки. Можна переглядати судину в поздовжньому або поперечному перерізі, спостерігати рух частинок-стримерів та зчитувати живі значення витрати, пікової швидкості, напруги зсуву стінки і числа Рейнольдса.
Що таке закон Пуазейля і як він застосовується тут?
Закон Пуазейля стверджує, що об'ємна витрата Q = πr⁴ΔP / (8ηL), пов'язуючи потік з радіусом судини r, перепадом тиску ΔP, в'язкістю η та довжиною L. Симуляція безпосередньо обчислює цей вираз для отримання витрати, а потім виводить з нього параболічний профіль швидкості та середню швидкість.
Чому профіль швидкості параболічний?
У стаціонарній ламінарній течії умова прилипання примушує швидкість дорівнювати нулю біля стінки, тоді як перепад тиску найсильніше прискорює рідину в центрі. Розв'язання рівнянь Нав'є–Стокса для цього балансу дає u(r) = u_max(1 − r²/R²) — параболу, де максимум у центрі рівно вдвічі перевищує середню швидкість по перерізу.
Радіус R (0,5–10 мм) і довжина L задають геометрію судини; стеноз (0–90%) додає звуження; тиск ΔP (100–13 330 Па) є рушійною силою; в'язкість η (0,001–0,010 Па·с) відображає густину крові; частота серцевих скорочень і пульсова амплітуда формують форму пульсової хвилі в пульсуючому режимі.
Стеноз моделює Гаусове звуження в середині судини. Оскільки витрата залежить від радіуса в четвертому степені, навіть незначне звуження різко обмежує потік, а кров, що проходить крізь звуження, прискорюється, щоб зберегти об'єм. Це прискорення підвищує напругу зсуву стінки, а при звуженні понад 70% симуляція сигналізує про тяжкий стеноз.
Напруга зсуву стінки (НЗС) — це тангенційна сила тертя, яку рухома кров чинить на стінку судини; тут вона обчислюється як r·ΔP / (2L) у паскалях. Вона важлива клінічно, бо аномальна НЗС впливає на стан ендотелію, утворення атеросклеротичних бляшок та ризик їх розриву або відриву тромбу.
Число Рейнольдса Re = ρ·u·2r / η порівнює інерційні та в'язкі сили і передбачає, чи залишиться течія плавною або стане турбулентною. Модель використовує густину крові ρ = 1060 кг/м³, і коли Re перевищує приблизно 2300, видається попередження про турбулентну течію, яка найімовірніша нижче за тісний стеноз.
У пульсуючому режимі потік множиться на часозмінний пульсовий коефіцієнт, побудований на основі частоти серцевих скорочень: він дає систолічний пік, за яким слідує менший дикротичний горбик, масштабований повзунком пульсової амплітуди. Перемикання до стаціонарного режиму утримує коефіцієнт рівним одиниці, демонструючи постійну течію Пуазейля для порівняння.
Вона використовує правильні рівняння Гагена–Пуазейля та напруги зсуву стінки й реалістичні параметри крові, тому тенденції та порядки величин є коректними для ідеалізованої ламінарної течії. Проте це навчальна модель: реальні артерії еластичні, конічні та розгалужені, кров є неньютонівською рідиною, а форма пульсу тут спрощена.
Такі гемодинамічні принципи лежать в основі оцінки артеріальних захворювань: клініцисти використовують вимірювання швидкості потоку та перепаду тиску для визначення ступеня стенозу, а концепції напруги зсуву стінки пояснюють, де розвивається атеросклероз. Та сама фізика також визначає проектування стентів, шунтів та судинних пристроїв.