Передумови: математичний аналіз (градієнти, дивергенція), базова термодинаміка (тиск, температура), класична механіка (другий закон Ньютона). Цей допис природно продовжує Навчання #35 (Електромагнетизм і рівняння Максвелла) — багато математичних структур (векторні поля, потік, теорія потенціалу) переносяться безпосередньо.
Гіпотеза суцільного середовища та властивості рідин
На макроскопічних масштабах (масштаби довжини ≫ молекулярна відстань ∼ 0,3 нм) рідину можна розглядати як суцільне середовище, що характеризується польовими величинами: густиною ρ(r,t), швидкістю u(r,t), тиском p(r,t) і температурою T(r,t). Це гіпотеза суцільного середовища, справедлива, коли число Кнудсена Kn = λ/L ≪ 1 (λ = довжина вільного пробігу, L = характерна довжина потоку).
Динамічна в'язкість μ кількісно визначає опір рідини зсуву. Ньютонівські рідини (вода, повітря, більшість простих рідин) підпорядковуються закону в'язкості Ньютона: напруження зсуву пропорційне швидкості зсуву.
τ = напруження зсуву [Па] μ = динамічна в'язкість [Па·с]
&partial;u/&partial;y = градієнт швидкості перпендикулярно потоку
Кінематична в'язкість: ν = μ/ρ [м²/с]
Вода за 20°C: μ ≈ 1,0 × 10-3 Па·с
Повітря за 20°C: μ ≈ 1,8 × 10-5 Па·с
Неньютонівські рідини (кров, розплави полімерів, кетчуп) мають в'язкість, що залежить від швидкості зсуву. Псевдопластичні (зсувнорозріджувальні) рідини стають менш в'язкими за високого зсуву. Дилатантні (зсувнозагущувальні) рідини стають більш в'язкими. Бінгамівські пластики потребують подолання границі текучості, перш ніж почати текти взагалі.
Рівняння неперервності та збереження маси
Маса не може виникати чи зникати. У диференціальній формі це дає рівняння неперервності:
Нестисливий потік (ρ = const):
∇·u = 0 (бездивергентне поле швидкості)
Масова витрата через поверхню: ˙m = ∫∫ ρu·n dA
Інтегральна форма: d/dt ∫∫∫ ρ dV + ∮ ρu·dA = 0
Умова нестисливості ∇·u = 0 значно спрощує рівняння руху і є чудовим наближенням для рідин і для газових потоків із числом Маха Ma < 0,3.
Рівняння Нав'є-Стокса та збереження імпульсу
Застосування другого закону Ньютона до елемента рідини в континуальній границі — з урахуванням градієнтів тиску, в'язкого напруження та об'ємних сил — дає рівняння Нав'є-Стокса. Для нестисливого потоку:
Ліва частина: інерційні члени (швидкість зміни + конвективне прискорення)
−∇p : сила градієнта тиску
μ∇²u : в'язка дифузія імпульсу
ρg : об'ємна сила (гравітація; може включати силу Коріоліса тощо)
Це набір із 3 рівнянь (компоненти x, y, z) + 1 рівняння неперервності, що дає 4 рівняння для 4 невідомих (u, v, w, p).
Розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса в повній загальності — одна з проблем тисячоліття в математиці: існування та гладкість розв'язків у 3D не доведено. На практиці інженери використовують DNS (пряме чисельне моделювання), RANS (осереднені за Рейнольдсом) або LES (моделювання великих вихорів) на різних масштабах роздільної здатності.
Симулятор конвекції Бенара розв'язує 2D рівняння Нав'є-Стокса в наближенні Буссінеска з членом плавучості. Спостерігайте, як конвективні комірки самоорганізуються, коли число Релея Ra перетинає критичне значення 1708.
Число Рейнольдса та перехід ламінарний-турбулентний
Число Рейнольдса Re — найважливіша безрозмірна група в механіці рідин. Це відношення інерційних сил до в'язких:
U = характерна швидкість L = характерний масштаб довжини
Re < ~2300: ламінарний потік у трубі (паралельні лінії течії, Re<∼1 для повзучого потоку)
2300 < Re < 4000: перехідний режим (переміжна турбулентність)
Re > ~4000: турбулентний потік у трубі (хаотичне перемішування, каскад вихорів)
Перехід примежового шару на плоскій пластині: Rex ≈ 5×105
Турбулентність включає каскад кінетичної енергії від великих вихорів (що вносяться в масштабі L зсувом середнього потоку) до малих колмогорівських вихорів (масштаб η = (ν³/ε)1/4), де в'язкість розсіює енергію у вигляді тепла. Відношення L/η масштабується як Re3/4, тому DNS потоків з високим Re вимагає надзвичайних обчислювальних ресурсів.
Рівняння Бернуллі
Для стаціонарного, нестисливого, нев'язкого потоку вздовж лінії течії рівняння Нав'є-Стокса зводяться до рівняння Бернуллі:
p = статичний тиск ½ρu² = динамічний тиск
ρgz = гідростатичний тиск pзаг = p + ½ρu² = тиск гальмування
Ефект Вентурі: A1u1 = A2u2 (неперервність)
⇒ p1 − p2 = ½ρ(u2² − u1²)
Рівняння Бернуллі пояснює підйомну силу літака (різниця тиску між верхньою та нижньою поверхнями крила), роботу карбюраторів, зрив потоку на крилі та ефект Коанда. Воно не працює там, де важлива в'язкість (примежові шари, тертя в трубах) або де є значна нестаціонарність потоку.
Симулятор аеродинамічного профілю обчислює потенційний потік навколо симетричного або вигнутого профілю крила за допомогою конформного відображення (перетворення Жуковського), будуючи розподіл тиску та коефіцієнт підйомної сили CL як функцію кута атаки.
Закон Дарсі та потік у пористих середовищах
За малих чисел Рейнольдса (Re < 1 за розміром зерна) в'язкість повністю домінує над інерційними силами. Потік крізь пористе середовище (пісок, гравій, гірська порода) за таких умов підпорядковується емпіричному закону Дарсі (1856):
q = −K ∇h (насичений потік, K поглинає μ і ρg)
q = потік Дарсі (питома витрата, м/с)
K = коефіцієнт фільтрації (м/с) h = п'єзометричний напір (м)
Середня порова швидкість: v = q / n n = пористість
Внутрішня проникність: k = Kμ/(ρg) [м²]
П'єзометричний напір h = z + p/(ρg) поєднує напір положення та напір тиску. Потік завжди йде від високого напору до низького, незалежно від того, чи відповідає це високій або низькій висоті. Коефіцієнт фільтрації K охоплює 13 порядків величини: від 10-13 м/с у суцільному граніті до 100 м/с у грубому гравії.
Рівняння підземного потоку
Поєднання закону Дарсі з рівнянням неперервності дає рівняння підземного потоку:
Ss = питома водовіддача (м-1)
K = тензор коефіцієнта фільтрації (м/с)
Q = джерело/стік (відкачувальні свердловини, живлення)
Стаціонарний стан: ∇·(K ∇h) = 0 (рівняння Лапласа за однорідного K)
Депресійна воронка свердловини за Дюпюї-Тейсом:
s(r,t) = (Q/4πT) · W(u) u = r²S/(4Tt)
T = водопровідність = K ċ b b = потужність водоносного горизонту
W(u) = −Ei(−u) = функція свердловини Тейса
Розв'язок Тейса передбачає однорідний, ізотропний, нескінченний напірний водоносний горизонт. Реальні водоносні горизонти демонструють анізотропію (Kx ≠ Ky), неоднорідність, безнапірні умови (вільна поверхня рухається разом з відкачуванням) і складні граничні умови. Для практичного проєктування водозабірних полів використовують чисельні моделі (MODFLOW, FEFLOW).
Симулятор підземного потоку розв'язує 2D стаціонарне рівняння підземного потоку на сітці 100×60 методом послідовної верхньої релаксації. Додавайте відкачувальні або нагнітальні свердловини, налаштовуйте зони коефіцієнта фільтрації та спостерігайте, як контури напору та стрілки потоку Дарсі оновлюються в реальному часі.
Адвекція-дифузія та число Пекле
Знаючи поле швидкості, ми можемо обчислити, як поширюється розчинений забруднювач або трасер. Перенесення визначається двома конкурентними процесами:
- Адвекція: перенесення середньою швидкістю потоку (напрямлене, зберігає масу).
- Дифузія/дисперсія: поширення через молекулярну дифузію та механічну дисперсію, спричинену мінливістю швидкості на поровому масштабі.
C = концентрація D = тензор дисперсії R = член реакції
Число Пекле: Pe = uL/D
Pe ≪ 1: домінує дифузія (поширення ізотропне)
Pe ≫ 1: домінує адвекція (різкі фронти)
Одновимірна крива прориву (розчинена речовина досягає глибини L):
C(t)/C0 = ½ erfc[(L/v − t)/(2√(Dt/v²L0))]
Механічна дисперсія Dm = αL v (поздовжня дисперсивність αL ∼ 0,1–100 м залежно від масштабу неоднорідності). У рекультивації водоносних горизонтів моделювання адвекції-дифузії передбачає протяжність шлейфу забруднення та ефективність відкачування-очищення.
Теорія примежового шару та внутрішні потоки
Поблизу твердої поверхні в'язкість має значення навіть за високих Re: примежовий шар — це тонка область, де потік переходить від нульової швидкості на стінці (умова прилипання) до швидкості вільного потоку U∞. Товщина примежового шару δ зростає вздовж пластини:
δ/x ≈ 5,0 / √Rex Rex = U∞x/ν
Коефіцієнт опору: CD = 1,328 / √ReL (ламінарний)
CD ≈ 0,074 ReL-1/5 (турбулентний, ReL до 107)
Поверхневе тертя: τw = μ (&partial;u/&partial;y)|y=0 = 0,332 μ U∞ √(U∞/(νx))
Хагена-Пуазейля (ламінарний потік у трубі, Re < 2300):
Q = πR4Δp / (8μL) u(r) = (R²−r²)Δp/(4μL) (параболічний профіль)
Результат Хагена-Пуазейля показує, що опір потоку масштабується як R4 — зменшення радіуса труби вдвічі підвищує опір у 16 разів. Це має глибокі наслідки для течії крові в серцево-судинній системі: дрібні артеріоли забезпечують більшу частину загального судинного опору, попри те, що несуть незначну частку загального об'єму.
Симулятор кровотоку візуалізує потік Хагена-Пуазейля в мережі судин. Змінюйте діаметр судин, щоб побачити, як опір і витрати перерозподіляються по всій мережі. Включає ефект Фареуса-Ліндквіста для маргінації еритроцитів.
Зв'язок понять
Нитки механіки рідин переплітаються по всій платформі:
- Конвекція Бенара — природна конвекція, зумовлена плавучістю; нестійкість Релея-Бенара; вали та шестигранні комірки
- Аеродинамічний профіль — підйомна сила Бернуллі; потенційний потік; перетворення Жуковського; зрив потоку
- Підземний потік — потік Дарсі; моделювання водоносного горизонту; депресійна воронка свердловини
- Кровотік — Хаген-Пуазейль; судинний опір; ефект Фареуса-Ліндквіста
- Хвилі у ванні — рівняння мілкої води; поверхневі гравітаційні хвилі; дисперсія
- Термохалінна циркуляція — океанічні течії, зумовлені густиною; AMOC; подвійно-дифузійна конвекція
Підсумок: ключові безрозмірні групи
Безрозмірні числа механіки рідин
Re = UL/ν — Рейнольдс: інерція/в'язкість; ламінарний чи турбулентнийFr = U/√(gL) — Фруд: інерція/гравітація; докритичний чи надкритичний
Ma = U/c — Мах: швидкість потоку/швидкість звуку; стисливість
Pe = UL/D — Пекле: адвекція/дифузія; різкі чи розмиті фронти
Pr = ν/κ — Прандтль: імпульс/теплова дифузійність
Ra = gβΔTL³/(νκ) — Релей: плавучість/в'язко-дифузійні сили; початок конвекції
Kn = λ/L — Кнудсен: межа молекулярного/суцільного режиму