Навчання #35 – Електромагнетизм і рівняння Максвелла…

Передумови та навчальні цілі

Цей гід передбачає, що ви впевнено володієте базовим математичним аналізом (похідні, інтеграли) та векторами (скалярний добуток, векторний добуток, градієнт, дивергенція, ротор). Вступний курс механіки буде корисним, але не є обов'язковим. Наприкінці ви зможете:

Формулювати й застосовувати чотири рівняння Максвелла як в інтегральній, так і в диференціальній формі
Виводити електричні та магнітні поля простих розподілів заряду і струму за допомогою законів Гаусса та Ампера
Застосовувати закон Фарадея та закон Ленца до задач індукції
Виводити рівняння електромагнітної хвилі та обчислювати швидкість хвилі через μ₀ та ε₀
Обчислювати вектор Пойнтінга та тиск випромінювання
Якісно розуміти: генератори змінного струму, трансформатори, LC-генератори, хвилеводи

Модуль 1: Електричні поля та закон Кулона

Електричний заряд і сила Кулона. Усі електромагнітні явища починаються з електричного заряду. Заряд квантований (елементарний заряд e = 1.602×10−19 Кл) і зберігається. Однойменні заряди відштовхуються; різнойменні — притягуються. Закон Кулона дає силу між двома точковими зарядами q₁, q₂, розділеними відстанню r:

F 12 = k q 1 q 2 /r² &rcirc; 12 k = 1/(4πε 0) \approx 8.99 \times 10&sup9; Н\cdotм²/Кл² ε 0 = 8.854 \times 10-12 Ф/м (діелектрична проникність вакууму)

Сила діє вздовж лінії, що з'єднує заряди (центральна сила), спадає як 1/r² і підкоряється принципу суперпозиції: сумарна сила, що діє на заряд, дорівнює векторній сумі всіх попарних сил Кулона.

Поняття електричного поля. Замість того, щоб думати про силу між парами зарядів, введемо електричне поле E у точці P як силу, що діяла б на одиничний позитивний пробний заряд, розміщений у P (за умови, що пробний заряд не збурює джерела заряду). Для точкового заряду Q у початку координат:

E (r) = kQ/r² &rcirc; = Q/(4πε 0 r²) &rcirc; Сила, що діє на заряд q: F = q E

Електричне поле — це векторне поле, визначене в кожній точці простору. Силові лінії починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних (або йдуть у нескінченність), а напруженість поля пропорційна густині ліній.

Закон Гаусса та симетрія. Повний потік електричного поля крізь будь-яку замкнену поверхню дорівнює заряду всередині, поділеному на ε₀:

&oiint; E \cdotd A = Q вн /ε 0 (інтегральна форма) \nabla\cdot E = ρ/ε 0 (диференціальна форма, ρ = густина заряду)

Для сфери із зарядом Q: оберемо сферичну гауссову поверхню радіуса r > R. За симетрією, E однорідне на поверхні й спрямоване радіально назовні, тож: E × 4πr² = Q/ε₀, звідки E = Q/(4πε₀r²) &rcirc;. Закон Гаусса найпотужніший для розподілів зі сферичною, циліндричною або площинною симетрією.

⚡

Симулятор статичної електрики: розмістіть позитивні та негативні заряди на полотні й спостерігайте, як силові лінії електричного поля та еквіпотенціальні поверхні оновлюються в реальному часі. Спробуйте розташувати диполь (+q, −q) і перевірте, що силові лінії починаються на + і закінчуються на −.

Модуль 2: Електричний потенціал та енергія

Електричний потенціал. Оскільки електростатична сила консервативна (∇×E = 0 у статичному випадку), ми можемо визначити скалярний потенціал V такий, що E = −∇V. Потенціал на відстані r від точкового заряду Q:

V(r) = kQ/r = Q/(4πε 0 r) Для розподілу заряду: V = k \int dq/r' (суперпозиція) Робота для переміщення заряду q з A до B: W = q(V A - V B)

Еквіпотенціальні поверхні перпендикулярні силовим лініям. Робота з переміщення заряду вздовж еквіпотенціалі дорівнює нулю.

Конденсатори та накопичення енергії. Конденсатор накопичує заряд Q на двох провідниках з різницею потенціалів V: Q = CV (ємність C у фарадах). Плоский конденсатор із площею обкладинок A і відстанню d між ними має C =&ε₀A/d. Енергія, накопичена в електричному полі:

U E = ½CV² = Q²/(2C) = ½ε 0 E² \times (об'єм) Густина енергії: u E = ½ε 0 E² [Дж/м³]

Густина енергії поля — це загальний результат: він застосовний всюди, а не лише всередині конденсаторів.

Модуль 3: Магнітні поля та закон Біо-Савара

Магнітна сила, що діє на рухомі заряди. Заряджена частинка, що рухається зі швидкістю v у магнітному полі B, зазнає дії сили Лоренца:

F = q v \times B Для елемента струму Id l : d F = Id l \times B

Принципово важливо, що магнітна сила завжди перпендикулярна швидкості, тому вона не виконує роботи. Вона змінює напрямок руху, але не кінетичну енергію. Заряджена частинка в однорідному полі рухається по колу з циклотронною частотою ω_c = qB/m (радіус Лармора r_L = mv/qB).

Джерела магнітних полів: закон Біо-Савара. Рухомі заряди створюють магнітні поля. Внесок у B від елемента струму Idl у точці, розташованій на відстані r від елемента:

d B = (μ 0 /4π) Id l \times &rcirc;/r² Для довгого прямого провідника на відстані R: B = μ 0 I / (2πR) (охоплюючи провідник)

Лінії магнітного поля утворюють замкнені петлі — вони не мають ні початку, ні кінця.

Закон Ампера. Для замкненого контуру Ампера C, що охоплює струм I_вн:

\oint B \cdotd l = μ 0 I вн (інтегральна форма) \nabla\times B = μ 0 J (диференціальна форма, J = густина струму) Соленоїд (n витків/м): B = μ 0 nI (всередині, однорідне)

Так само як закон Гаусса використовує симетрію для E, закон Ампера найпотужніший для симетричних розподілів струму: нескінченний провідник, соленоїд, тороїд.

Закон Гаусса для магнетизму. На відміну від силових ліній електричного поля, що починаються/закінчуються на зарядах, лінії магнітного поля завжди замикаються самі на себе:

&oiint; B \cdotd A = 0 (відсутність магнітних монополів) \nabla\cdot B = 0 (диференціальна форма)

Магнітний потік крізь будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю. Відсутність магнітних монополів — одна з фундаментальних асиметрій між електрикою й магнетизмом.

Модуль 4: Індукція Фарадея та закон Ленца

Магнітний потік і закон Фарадея. Визначимо магнітний потік крізь поверхню S:

Φ B = \int\int S B \cdotd A Закон Фарадея: ϵ = -dΦ B /dt Котушка з N витків: ϵ = -N dΦ B /dt

Індукована ЕРС спричиняє струм у котушці. Зауважте: фізичне коло не обов'язкове — змінне поле B створює циркулююче поле E в порожньому просторі (з інтегральної форми: ∮E·dl = −dΦ_B/dt).

Закон Ленца — знак має значення. Знак «мінус» у законі Фарадея забезпечує виконання закону Ленца: індукований струм завжди тече в напрямку, що протидіє зміні потоку. Якщо потік крізь контур зростає, індукований струм створює поле, що протидіє цьому зростанню. Це пряме наслідок закону збереження енергії: якби індукований струм підсилював зміну потоку, можна було б створювати енергію з нічого.

Фізичні приклади: магніт, що падає крізь мідну трубу, сповільнюється (вихрові струми гальмують його); рекуперативне гальмування в електромобілях (двигун працює як генератор, протидіючи обертанню коліс); нагрівання осердя трансформатора.

Рухома ЕРС і генератори. Коли провідник рухається в магнітному полі, вільні електрони зазнають дії сили F = qv×B, що спричиняє розділення заряду й виникнення ЕРС. Для стрижня довжиною L, що рухається зі швидкістю v перпендикулярно полю B:

ϵ = BLv (рухома ЕРС) Обертова котушка (N витків, площа A, кутова частота ω): ϵ(t) = NBAω sin(ωt) (генератор змінного струму)

🧲

Симулятор електромагнітної індукції: оберіть режим зі стрижневим магнітом і перетягуйте магніт до котушки та від неї. Зверніть увагу, що гальванометр відхиляється лише поки магніт рухається, і змінює напрямок при зміні напрямку руху. Перемкніться на режим генератора змінного струму, щоб побачити, як ϵ(t) = NBAω sin(ωt) прокреслюється в реальному часі під час обертання котушки.

Модуль 5: Струм зміщення Максвелла

Відсутній член у законі Ампера. Закон Ампера (∇×B = μ₀J) виявляється суперечливим при застосуванні до конденсатора, що заряджається. Максвелл запровадив густину струму зміщення:

J D = ε 0 \partial E /\partialt Виправлений закон Ампера-Максвелла: \nabla\times B = μ 0 J + μ 0 ε 0 \partial E /\partialt

Фізичний зміст: змінне в часі електричне поле саме є джерелом магнітного поля, навіть без наявності реального струму. Це ключова ідея, що веде до самопідтримних електромагнітних хвиль.

Модуль 6: Повні рівняння Максвелла

Чотири рівняння Максвелла в диференціальній формі в одиницях СІ:

(I) \nabla\cdot E = ρ/ε 0 [закон Гаусса для електрики] (II) \nabla\cdot B = 0 [закон Гаусса для магнетизму] (III) \nabla\times E = -\partial B /\partialt [закон Фарадея] (IV) \nabla\times B = μ 0 J + μ 0 ε 0 \partial E /\partialt [закон Ампера-Максвелла]

Разом із законом сили Лоренца (F = q(E + v×B)), ці рівняння повністю описують усі класичні електромагнітні явища для заданих розподілів заряду й струму.

У лінійному, ізотропному, однорідному матеріалі з відносною діелектричною проникністю ε_r і відносною магнітною проникністю μ_r замінюємо ε₀ на ε = ε_rε₀ та μ₀ на μ =μ_rμ₀. Швидкість хвилі в середовищі стає v = c/n, де показник заломлення n = √(ε_rμ_r).

Модуль 7: Електромагнітні хвилі

Виведення хвильового рівняння. У вакуумі візьмемо ротор від закону Фарадея (III) і підставимо (IV):

\nabla\times(\nabla\times E) = -\nabla\times(\partial B /\partialt) Використовуючи тотожність \nabla\times(\nabla\times E) = \nabla(\nabla\cdot E) - \nabla² E та \nabla\cdot E = 0 (у вакуумі): \nabla² E = μ 0 ε 0 \partial² E /\partialt² Швидкість хвилі: c = 1/\sqrt(μ 0 ε 0) = 2.9979 \times 10&sup8; м/с

Розв'язок у вигляді плоскої хвилі. Найпростіший розв'язок — монохроматична плоска хвиля (кутова частота ω, хвильове число k = ω/c), що поширюється в напрямку +x:

E y (x,t) = E 0 cos(kx - ωt + φ) B z (x,t) = (E 0 /c) cos(kx - ωt + φ) Ключові співвідношення: E ⊥ B ⊥ напрямок поширення Відношення амплітуд: E 0 /B 0 = c B = (1/c) kˆ \times E

Густини енергії електричного й магнітного полів рівні (½ε₀E² = B²/(2μ₀)).

Перенесення енергії: вектор Пойнтінга. Потік електромагнітної енергії (потужність на одиницю площі):

S = (1/μ 0) E \times B [Вт/м²] Усереднений за часом потік Пойнтінга: ⟨S⟩ = E 0 B 0 /(2μ 0) = E 0 ²/(2μ 0 c) Тиск випромінювання: P rad = ⟨S⟩/c (поглинання) або 2⟨S⟩/c (відбиття)

Тиск випромінювання нікчемно малий за звичайних інтенсивностей світла, але значущий у надрах зір (підтримуючи Сонце проти гравітаційного колапсу), у майже критичних лазерних імпульсах і в проєктах сонячних вітрил.

📡

Симулятор хвиль Максвелла відтворює коливні вектори полів E та B як анімовану поперечну хвилю. Перевірте, що вони перпендикулярні й перебувають у фазі, а вектор Пойнтінга (векторний добуток) спрямований уздовж напрямку поширення.

Модуль 8: Застосування електромагнітної індукції

Самоіндукція та RL-кола. Котушка протидіє змінам струму крізь неї через власну ЕРС ϵ = −L dI/dt. У послідовному RL-колі (опір R, індуктивність L), під дією ЕРС ϵ₀:

I(t) = (ϵ 0 /R)(1 - e- t/τ) Стала часу: τ = L/R (індуктивна стала часу) Накопичена магнітна енергія: U L = ½LI² Соленоїд: L = μ 0 N²A/ℓ

LC-генератори та RLC-кола. В ідеальному LC-колі (без опору) енергія коливається між індуктивністю (магнітна) і ємністю (електрична) з резонансною частотою:

ω 0 = 1/\sqrt(LC) (резонанс) Q(t) = Q 0 cos(ω 0 t + φ) I(t) = -Q 0 ω 0 sin(ω 0 t + φ) З опором R: ω d = \sqrt(ω 0 ² - (R/2L)²)

LC-резонатор — електромагнітний аналог механічного гармонічного осцилятора (пружина-маса). Він фундаментальний для радіоприймачів (контурів налаштування), генераторів і фільтрів.

Трансформатори та узгодження імпедансів. Ідеальний трансформатор з N_p витків первинної обмотки та N_s витків вторинної:

V s /V p = N s /N p I s /I p = N p /N s Z in = (N p /N s)² Z навантаження (трансформація імпедансу)

Властивість трансформації імпедансу використовується в звукових підсилювачах для узгодження високого вихідного імпедансу підсилювача з низькоімпедансним динаміком (8 Ω), а також у радіочастотних колах — для узгодження імпедансу антени (зазвичай 50 Ω) з імпедансом лінії передачі.

Модуль 9: Граничні умови та хвилеводи

На межі двох середовищ рівняння Максвелла накладають конкретні граничні умови на компоненти поля. Для тангенціальної E і нормальної B (із законів Гаусса і Фарадея):

E 1t = E 2t (тангенціальна E неперервна) B 1n = B 2n (нормальна B неперервна) D 1n - D 2n = σ вільн (нормальна D має розрив на поверхневому заряді) H 1t - H 2t = K вільн (тангенціальна H має розрив на поверхневому струмі)

На поверхні ідеального провідника: E_{тангенц} = 0 і B_норм = 0. Ці умови обмежують електромагнітні хвилі всередині металевих труб — хвилеводів. Прямокутний хвилевод шириною a і висотою b підтримує моди TE_mn та TM_mn з граничними частотами f_c = c/(2) √[(m/a)² + (n/b)²]. Нижче граничної частоти хвилі стають еванесцентними (експоненційно загасаючими, без чистого перенесення енергії). Хвилеводи використовують у мікрохвильовій техніці: радарах, супутниковому зв'язку, лабораторних мікрохвильових вимірюваннях.

Модуль 10: Теорія відносності та електромагнетизм

Рівняння Максвелла коваріантні за Лоренцем: вони мають однакову форму в усіх інерціальних системах відліку. Саме тому стаття Ейнштейна 1905 року називалася «До електродинаміки рухомих тіл» — спеціальна теорія відносності народилася саме через несумісність класичної механіки з рівняннями Максвелла.

Ключові наслідки для електромагнетизму:

Об'єднання електричного й магнітного полів: те, що один спостерігач називає чисто електричним полем, спостерігач у зустрічному русі бачить як комбінацію E та B. Шість компонент поля утворюють антисиметричний електромагнітний тензор F^μν.
Магнетизм як релятивістський ефект: магнітну силу між двома паралельними провідниками зі струмом можна вивести повністю із закону Кулона плюс спеціальна теорія відносності (лоренцове скорочення густин заряду). Магнетизм за своєю природою релятивістський.
Електромагнітний 4-потенціал: скалярний потенціал V і векторний потенціал A об'єднуються в 4-потенціал A^μ = (V/c, A), визначений з точністю до калібрувальних перетворень A^μ → A^μ + ∂^μχ.

Підсумок: ієрархія класичної теорії ЕМ

Електростатика (статичні заряди: закон Гаусса для E, закон Кулона) → Магнітостатика (сталі струми: закон Гаусса для B, закон Біо-Савара, закон Ампера) → Індукція Фарадея (змінне B → E) → Струм зміщення Максвелла (змінне E → B) → Самопідтримні ЕМ-хвилі (світло, радіо, рентген) → Лоренцева коваріантність (4-вимірне об'єднання, тензор F^μν) → КЕД (квантування електромагнітного поля, фотони, віртуальні частинки)

Додаткова література

Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4-те вид. — стандартний підручник для бакалаврату
Purcell & Morin, Electricity and Magnetism, 3-тє вид. — акцентує на релятивістському підґрунті
Jackson, Classical Electrodynamics, 3-тє вид. — рівень аспірантури, суворий виклад
Feynman Lectures on Physics, том II — фізична інтуїція, доступно безкоштовно онлайн

Електромагнетизм і рівняння Максвелла — керований навчальний шлях