Навчання #27 – Статистична механіка та фазові переходи: статистичні суми, модель Ізінга та ренормалізація

Термодинаміка описує макроскопічні системи через функції стану, такі як температура, тиск і ентропія, не питаючи, що роблять атоми. Статистична механіка забезпечує мікроскопічну основу: прозріння Больцмана, що ентропія дорівнює S = k_B ln Ω — логарифму кількості доступних мікроскопічних станів — пов'язало абстрактну структуру термодинаміки з атомною реальністю. Отримана теорія належить до найпотужніших у всій фізиці, передбачаючи все, від теплоємності твердих тіл до магнітної сприйнятливості спінових систем поблизу критичних точок.

1. Статистичні суми і канонічний ансамбль

Система в тепловому контакті з термостатом при температурі T описується канонічним ансамблем. Замість того щоб відстежувати кожен мікростан, ми будуємо статистичну суму Z, яка кодує всю термодинамічну інформацію через єдину суму за всіма мікростанами, зважену їхніми множниками Больцмана.

Canonical partition function:
  Z = ∑_i exp(−βE_i)    β = 1/(k_B T)
  (sum over all microstates i with energy E_i)

Boltzmann probability:
  P_i = exp(−βE_i) / Z

Helmholtz free energy:
  F = −k_B T ln Z

Thermodynamic observables from F:
  ⟨E⟩ = −∂ ln Z / ∂β = F + TS
  S = −(∂F / ∂T)_V = k_B [ln Z + β⟨E⟩]
  C_V = (∂⟨E⟩ / ∂T)_V = k_B β² [⟨E²⟩ − ⟨E⟩²]

Grand canonical ensemble (variable particle number N):
  Ω = ∑_{N,i} exp[−β(E_i − μN)]
  Ω relates to grand potential: J = −k_B T lnΩ
          

Елегантність цього підходу полягає в тому, що щойно Z обчислено (аналітично чи чисельно), усі термодинамічні величини випливають шляхом диференціювання. Дисперсія енергії дає теплоємність; дисперсія числа частинок дає стисливість. Цей зв'язок «флуктуація — відгук» є глибоким принципом, до якого ми повернемося в розділі 5.

2. Модель Ізінга

Модель Ізінга — це робоча конячка статистичної механіки: N спінів σ_i = ±1, розташованих на ґратці, з феромагнітним зв'язком найближчих сусідів J та зовнішнім полем h. Попри свою простоту, вона вловлює основну фізику фазових переходів у магнетиках, бінарних сплавах і навіть нейронних мережах.

Hamiltonian:
  H = −J ∑_{⟨ij⟩} σ_i σ_j − h ∑_i σ_i

1D Ising (Ising, 1925): exact solution by transfer matrix
  Z = λ&sub1;^N + λ&sub2;^N,   λ_{1,2} = e^(βJ) [cosh(βh) ± √(sinh²(βh) + e^(−4βJ))]
  No phase transition at finite T in 1D (Peierls argument)

2D Ising (Onsager, 1944): exact solution on square lattice
  Critical temperature: k_B T_c = 2J / ln(1 + √2) ≈ 2.269 J
  Spontaneous magnetisation (Onsager/Yang):
    m(T) = [1 − sinh^(−4)(2βJ)]^(1/8)   for T < T_c
  Critical exponents (exact):
    m ~ |T − T_c|^β,   β = 1/8
    χ ~ |T − T_c|^(−γ),   γ = 7/4
    C ~ |ln|T − T_c||   (α = 0, logarithmic divergence)
    ξ ~ |T − T_c|^(−ν),   ν = 1
          

Розв'язок Онсагера 1944 року для 2D моделі Ізінга при h = 0 став віхою математичної фізики. Він показав, що фазові переходи можна описати точно в статистичній механіці — раніше були доступні лише теорії середнього поля (які дають неправильні показники). Критичні показники β = 1/8 та γ = 7/4 є універсальними: будь-яка 2D система з класу універсальності Ізінга, незалежно від деталей її мікроскопічних взаємодій, демонструє ці самі показники поблизу критичної точки.

3. Теорія Ландау для фазових переходів

Ландау (1937) визнав, що фазові переходи характеризуються появою параметра порядку — величини, яка дорівнює нулю в невпорядкованій фазі та відмінна від нуля в упорядкованій фазі. Поблизу критичної точки вільну енергію можна розкласти в степеневий ряд за параметром порядку m:

Landau free energy (m = order parameter, e.g. magnetisation):
  F(m) = F_0 + a(T)m² + (b/4)m&sup4; (no odd terms if Z&sub2; symmetry)
  a(T) = a_0(T − T_c)   (changes sign at T_c)
  b > 0  (second-order / continuous transition)

Equilibrium: ∂F/∂m = 0
  T > T_c: m = 0 (disordered)
  T < T_c: m = ±√[a_0(T_c − T)/b]  ~ (T_c − T)^(1/2)

Mean-field critical exponents:
  β = 1/2 (vs exact 2D: 1/8)
  γ = 1  (vs exact 2D: 7/4)
  δ = 3  (response to field at T_c)
  ν = 1/2  (vs exact 2D: 1)

Ginzburg criterion: mean-field fails when correlations dominate
  d > d_u (upper critical dimension) = 4 for Ising
  d = 3 Ising exponents: β = 0.326, γ = 1.237, ν = 0.630
          

Переходи першого роду

Якщо в розкладі Ландау b < 0 (або якщо потрібен доданок шостого порядку), перехід є першого роду: вільна енергія має два вироджені мінімуми при T_c, тому параметр порядку стрибкоподібно змінюється. Виділяється прихована теплота, і відбувається співіснування фаз. Замерзання води — перехід першого роду (ΔH = 334 Дж/г). Додавання кубічного доданка (m³) порушує симетрію Z₂ і також перетворює перехід на перехід першого роду — це релевантно для кварк-адронного переходу КХД у ранньому Всесвіті.

4. Ренормалізаційна група

Чому настільки різні фізичні системи мають однакові критичні показники? Кеннет Вілсон відповів на це питання за допомогою ренормалізаційної групи (РГ) на початку 1970-х, отримавши за це Нобелівську премію 1982 року. РГ — це процедура огрублення системи шляхом виключення короткохвильових ступенів вільності та перемасштабування.

Block spin transformation (Kadanoff):
  Replace each b×b block of spins by a single effective spin
  Rescale lengths: x → x/b
  Rescale Hamiltonian: H(K) → H(K′)

RG flow in coupling constant space:
  K′ = R_b(K)  (recursion relation)

Fixed points K*:  K* = R_b(K*)
  Stable FP (b>0 phase): disordered
  Stable FP (b<0 phase / T<T_c): ordered
  Unstable FP at T=T_c: critical point

Critical exponents from eigenvalues of linearised RG:
  Eigenvalues: λ_i = b^{y_i}
  y_t > 0: relevant operator (T − T_c)  → ν = 1/y_t
  y_h > 0: relevant operator (magnetic field h) → δ = (d + y_h)/y_h
  y < 0: irrelevant operator (decays under RG)

Universality: systems with same dimension d and same symmetry
flow to the same fixed point → same critical exponents
          

Ε-розклад Вілсона працює поблизу верхньої критичної розмірності d_u = 4: поклавши d = 4 − ε та розкладаючи за степенями ε, критичні показники можна обчислити пертурбативно. При ε = 1 (d = 3) розклад дає β ≈ 0.33, у доброму узгодженні з числовими значеннями та експериментом. Формалізм РГ виходить далеко за межі фазових переходів: він лежить в основі константи зв'язку, що «біжить», у квантовій теорії поля, і підходу ефективної теорії поля в ядерній фізиці.

5. Флуктуаційно-дисипаційна теорема

Флуктуаційно-дисипаційна теорема (ФДТ) пов'язує спонтанні рівноважні флуктуації з лінійним відгуком системи на зовнішнє збурення. Це один із найглибших результатів у нерівноважній статистичній механіці.

Brownian motion (Einstein 1905):
  D = k_B T / (6πηr) = μ k_B T
  μ = mobility;  D = diffusion coefficient

Fluctuation-Dissipation Theorem (Callen & Welton 1951):
  S(ω) = (2k_B T / ω) Im[χ(ω)]
  S(ω) = power spectral density of fluctuations
  χ(ω) = complex susceptibility (linear response)

Nyquist noise (Johnson-Nyquist 1928):
  S_V(ω) = 4k_B T R
  (voltage noise in resistor R at temperature T)

Green-Kubo relations:
  η = (V/k_B T) ∫_0^∞ ⟨σ_{xy}(0)σ_{xy}(t)⟩ dt  (viscosity)
  D = (1/3) ∫_0^∞ ⟨v(0)·v(t)⟩ dt  (diffusion via VACF)
          

ФДТ має глибокі практичні наслідки: тепловий шум в електронних схемах (шум Джонсона-Найквіста) є фундаментальною межею для виявлення сигналу; в'язкість рідини можна обчислити з рівноважних автокореляційних функцій швидкості; оптичний відгук матеріалу поблизу резонансу втілює той самий зв'язок між поглинанням і дисперсією (співвідношення Крамерса-Кроніга).

6. Методи Монте-Карло поблизу критичної точки

Аналітично розв'язати моделі статистичної механіки можливо лише у спеціальних випадках. Методи Монте-Карло (МК) забезпечують загальний чисельний підхід: генеруючи випадкові вибірки з розподілу Больцмана, можна оцінити будь-яку термодинамічну спостережувану величину.

Metropolis-Hastings algorithm:
  1. Propose a move: flip spin i, ΔE = E_new − E_old
  2. Accept with probability:
       a = min(1, exp(−βΔE))
  3. Detailed balance: P(A→B)·π(A) = P(B→A)·π(B)
     ensures convergence to Boltzmann distribution

Autocorrelation time τ:
  τ ~ ξ^z   (critical slowing down near T_c)
  z ≈ 2.17 for local Metropolis (2D Ising)

Wolff cluster algorithm:
  Flips entire correlated clusters in one step
  z ≈ 0 (essentially no critical slowing down)
  Key step: build cluster by adding neighbour j with P = 1 − e^(−2βJ δ_{σi,σj})

Finite-size scaling:
  m(T, L) = L^(−β/ν) f[(T−T_c)L^(1/ν)]
  → data collapse onto universal scaling curve
     allows T_c and ν extraction from finite systems
          

Спробуйте ці симуляції