Навчання #25 – Електромагнетизм: рівняння Максвелла, ЕМ-хвилі, антени та лінії передачі

Синтез Джеймса Клерка Максвелла 1865 року, який об'єднав електрику і магнетизм в єдину систему з чотирьох польових рівнянь, — одне з найбільших теоретичних досягнень фізики. Ці рівняння передбачають швидкість світла виключно з електромагнітних сталих, об'єднали оптику з електрикою і заклали фундамент бездротового зв'язку, електроенергетичних систем та квантової електродинаміки. Кожна антена, трансформатор, оптичне волокно та мікрохвильова піч працюють на принципах, закодованих у рівняннях Максвелла.

1. Рівняння Максвелла — повна структура

Чотири рівняння Максвелла пов'язують електричне поле E, магнітне поле B, густину заряду ρ та густину струму J. У диференціальній формі вони застосовуються в кожній точці простору й часу; в інтегральній формі вони пов'язують потік і циркуляцію через поверхні та контури. Разом вони становлять повний класичний опис усіх електромагнітних явищ.

Диференціальна форма (СІ, у вакуумі або лінійному середовищі):

  ∇·E = ρ/ε_0                            (закон Гаусса: E-поле розходиться від зарядів)
  ∇·B = 0                                   (немає магнітних монополів: B без дивергенції)
  ∇×E = −∂B/∂t                        (Фарадей: зміна B індукує циркулююче E)
  ∇×B = μ_0(J + ε_0 ∂E/∂t)         (Ампер + Максвелл: струми і зміна E породжують B)

Інтегральна форма:
  &oiint; E·dA = Q_enc/ε_0                   (повний потік через замкнену поверхню = заряд усередині)
  &oiint; B·dA = 0                               (немає ізольованих магнітних полюсів)
  ∮ E·dl = −dΦ_B/dt                     (ЕРС по контуру = −швидкість зміни магнітного потоку)
  ∮ B·dl = μ_0(I_enc + ε_0 dΦ_E/dt)   (магнітна циркуляція = струм усередині + струм зміщення)

Доповнення Максвелла: струм зміщення ε_0 ∂E/∂t
  Без нього ∇·J = −∂ρ/∂t (збереження заряду) суперечить початковому закону Ампера.
  Фізичний зміст: змінне поле E у зазорі конденсатора діє як струм — хоча заряд не перетинає зазор.

Сталі:
  ε_0 = 8.854 × 10^−12 Ф/м  (електрична стала, діелектрична проникність вакууму)
  μ_0 = 4π × 10^−7 Гн/м      (магнітна стала, проникність вакууму)
  c = 1/√(μ_0ε_0) = 2.998 × 10^8 м/с  (швидкість світла, передбачена Максвеллом 1865 р.)

2. Електромагнітні хвилі та вектор Пойнтінга

У вільному просторі (без джерел) рівняння Максвелла можна об'єднати в хвильове рівняння: кожна компонента E і B задовольняє (∇² − (1/c²)∂²/∂t²) f = 0. Розв'язками є поперечні електромагнітні (ТЕМ) хвилі: E і B коливаються перпендикулярно одне одному та напрямку поширення, у фазі, причому |E|/|B| = c.

Монохроматична плоска хвиля, що поширюється в напрямку +z:
  E(z,t) = E_0 cos(kz − ωt) x̂
  B(z,t) = (E_0/c) cos(kz − ωt) ŷ
  k = ω/c = 2π/λ   (хвильове число)

Густина енергії та імпульсу:
  u_E = (1/2)ε_0 E²    (густина електричної енергії)
  u_B = (1/2μ_0) B²         (густина магнітної енергії)
  u_E = u_B для плоскої хвилі (рівний розподіл)
  Разом: u = ε_0 E² = B²/μ_0

Вектор Пойнтінга (густина потоку енергії):
  S = (1/μ_0) E × B   [Вт/м²]
  |S| = u·c = E²/(μ_0 c)   для плоскої хвилі

Усереднена за часом інтенсивність (опроміненість):
  ⟨S⟩ = E_0² / (2μ_0 c)  [Вт/м²]
  На поверхні Землі: сонячна опроміненість ~ 1361 Вт/м²

Тиск випромінювання:
  P_rad = ⟨S⟩/c   (для ідеально поглинаючої поверхні)
  P_rad = 2⟨S⟩/c  (для ідеально відбиваючої поверхні)
  Тиск сонячного випромінювання на відстані 1 а.о.: ~ 9 × 10^−6 Па (малий, але важливий для космічних апаратів)

ЕМ-спектр (діапазони частот):
  Радіо:          f < 300 МГц   (λ > 1 м)
  Мікрохвилі:     300 МГц – 300 ГГц  (λ 1 мм – 1 м)
  Інфрачервоне:   300 ГГц – 430 ТГц  (λ 700 нм – 1 мм)
  Видиме:         430 – 770 ТГц  (λ 390 – 700 нм)
  Ультрафіолет:   770 ТГц – 30 ПГц  (λ 10 – 390 нм)
  Рентгенівське:  30 ПГц – 30 ЕГц  (λ 0.01 – 10 нм)
  Гамма:          f > 30 ЕГц    (λ < 0.01 нм)

3. Індукція Фарадея та закон Ленца

Закон індукції Фарадея стверджує, що змінний магнітний потік крізь контур індукує електрорушійну силу (ЕРС). Закон Ленца визначає знак: індукований струм завжди протидіє зміні, що його спричинила (це замаскований закон збереження енергії). Разом індукція Фарадея та закон Ленца є принципом дії генераторів, трансформаторів, індукційних двигунів, бездротової зарядки та металошукачів.

Закон Фарадея:
  &EMcycl; = −dΦ_B / dt   де Φ_B = &iint; B·dA (магнітний потік крізь поверхню)
  Для котушки з N витками:  &EMcycl; = −N dΦ_B/dt

Закон Ленца: знак «мінус» гарантує, що індукована ЕРС створює струм, який протидіє зміні потоку.

ЕРС руху:
  Провідник довжиною L, що рухається зі швидкістю v перпендикулярно до B:
  &EMcycl; = BLv   (сила Лоренца на вільні заряди в провіднику)
  Генератор Фарадея: обертання рамки (площа A, N витків) з кутовою швидкістю ω:
  &EMcycl;(t) = NBAω sin(ωt)   (синусоїдальний змінний струм на виході)

Власна індуктивність L:
  Φ_B = LI   (потік крізь котушку пропорційний власному струму)
  V_L = −L dI/dt   (напруга на індуктивності протидіє зміні струму)
  Запасена енергія: U_L = (1/2)LI²

Власна індуктивність соленоїда:
  L = μ_0 n² V   (n = витків на метр, V = об'єм)
  Для соленоїда з 1000 витками, радіусом 10 см і довжиною 50 см: L ≈ 3.9 мГн

Трансформатор (ідеальний):
  V_1/V_2 = N_1/N_2   (відношення напруг = відношенню витків)
  I_1/I_2 = N_2/N_1   (відношення струмів обернене)
  P_1 = P_2            (закон збереження енергії, за умови 100% ККД)
  Реальні трансформатори: активні втрати (I²R), втрати на вихрові струми, втрати на гістерезис

4. Випромінювання антен — від струму до далекого поля

Антена перетворює змінні в часі електричні струми на електромагнітні хвилі, що поширюються (режим передачі), або навпаки (режим приймання). Діаграма спрямованості — кутовий розподіл випроміненої потужності — випливає із запізнюючих потенціалів та прискорення зарядів. Навіть найпростіша антена, диполь Герца, вміщує в собі суттєву фізику будь-якого випромінювання.

Диполь Герца (нескінченно малий елемент струму I dℓ):
  Далеке електричне поле:
    E_θ = (I dℓ / 4π) · (μ_0 ω²/c) · (sinθ/r) · cos(ωt − kr)
  Далеке магнітне поле:
    H_φ = E_θ / η_0   (η_0 = √(μ_0/ε_0) = 377 Ом хвильовий опір)
  Обидва поля спадають як 1/r (далеке поле); ближнє поле має члени 1/r² і 1/r³.

Діаграма спрямованості:
  Потужність на одиницю тілесного кута: dP/dΩ ∝ sin²θ  (форма бублика, нуль на осі диполя)

Повна випромінена потужність (формула Лармора для прискореного заряду):
  P = q²a² / (6πε_0 c³)   (a = прискорення, q = заряд)
  Для елемента струму: P = (I² dℓ² ω&sup4; μ_0) / (12π c³)  ∝ f&sup4;
  Вищі частоти випромінюють значно ефективніше (тому AM потребує величезного передавача, а FM — меншого).

Ключові параметри антен:
  Спрямованість D: відношення інтенсивності головної пелюстки до ізотропного середнього
    Диполь Герца: D = 1.5 (1.76 дБі)
    Півхвильовий диполь: D = 1.64 (2.15 дБі)
    10-елементна антена «Уда-Яги»: D ~ 10–14 дБі
  Підсилення G = D · η (η = ефективність випромінювання, < 1 через омічні втрати)
  Смуга пропускання: діапазон f для КСХН < 2 (часто 3–5% для простих диполів)
  Імпеданс: півхвильовий диполь Z_in ≈ 73 + j42.5 Ом на резонансі

Формула передачі Фріса (розрахунок радіоканалу):
  P_received = P_transmitted · G_T · G_R · (λ/4πd)²
  Втрати поширення у вільному просторі: FSPL = (4πd/λ)²
  На частоті 2.4 ГГц на відстані 100 м: FSPL ~ 80 дБ (критично для бюджету Wi-Fi)

5. Скін-ефект — чому високочастотні струми уникають об'єму

Коли змінний струм тече в провіднику, індуковані вихрові струми протидіють проникненню потоку, витісняючи струм до поверхні. Густина струму спадає експоненційно з глибиною, з характерною глибиною, яку називають скін-шаром δ. На високих частотах δ може становити частку міліметра, тобто мідний провід на частоті 10 ГГц несе струм лише в тонкій оболонці — його об'ємний опір стає неважливим. Цей ефект визначає втрати в доріжках друкованих плат, вибір осердя трансформатора та конструкцію RF-екранування.

Хвильове рівняння в провіднику (комплексна діелектрична проникність):
  ∇²E = jωμσE   (σ = провідність)
  Розв'язок: E(x) = E_0 exp(−x/δ) exp(−jx/δ)
  (загасання і зсув фази з глибиною x)

Глибина скін-шару:
  δ = √(2/ωμσ) = 1/√(π f μ σ)
  f ↑ → δ ↓ (струм зосереджується в тоншому шарі)

Значення для міді (σ = 5.96 × 10^7 См/м):
  50 Гц:     δ = 9.3 мм   (повністю використовується на частоті мережі для типових кабелів)
  1 кГц:     δ = 2.1 мм
  1 МГц:     δ = 66 мкм
  100 МГц:   δ = 6.6 мкм
  10 ГГц:    δ = 0.66 мкм  (мікрохвильові кола)

Поверхневий опір (ефективний опір на квадрат):
  R_s = 1/(σδ) = √(π f μ / σ)   [Ом/квадрат]
  Мідна доріжка на 1 ГГц: R_s = 0.026 Ом/квадрат — суттєво для доріжок довжиною в мм.

Відповідно:
  R_AC / R_DC = a/(2δ) для радіуса проводу a ≫ δ
  Літцендрат: багато тонких жил діаметром < 2δ, скручених разом
  → зменшує ефективний опір на звукових і радіочастотах.

6. Лінії передачі — направлені хвилі та коефіцієнт стоячої хвилі

Лінія передачі — коаксіальний кабель, мікросмужка, хвилевід — направляє електромагнітні хвилі від джерела до навантаження. Коли імпеданс навантаження не узгоджений із хвильовим опором лінії Z_0, частина сигналу відбивається, створюючи стоячу хвилю. Коефіцієнт стоячої хвилі (КСХН) вимірює неузгодженість; максимальна передача потужності вимагає КСХН = 1 (ідеальне узгодження). Теорія ліній передачі необхідна для RF-проєктування, розведення друкованих плат на частотах вище ГГц та роботи із цілісністю сигналу.

Рівняння телеграфіста (модель розподілених кіл):
  ∂V/∂x = −(R + jωL) I
  ∂I/∂x = −(G + jωC) V
  Стала поширення: γ = α + jβ = √((R+jωL)(G+jωC))
  Хвильовий опір: Z_0 = √((R+jωL)/(G+jωC))

Лінія передачі без втрат (R=0, G=0):
  Z_0 = √(L/C),  β = ω√(LC),  v_p = 1/√(LC)
  Коаксіальний кабель: Z_0 = (60/√ε_r) ln(b/a) Ом   (b/a = відношення зовнішнього/внутрішнього радіусів)
  Мікросмужка:    Z_0 залежить від відношення w/h та діелектричної проникності підкладки ε_r (обчислюється чисельно)

Коефіцієнт відбиття на навантаженні Z_L:
  Γ = (Z_L − Z_0) / (Z_L + Z_0)   (комплексний, |Γ| ≤ 1)
  Коротке замикання: Z_L = 0 → Γ = −1  (повне відбиття, з інверсією)
  Холостий хід:  Z_L = ∞ → Γ = +1  (повне відбиття, без інверсії)
  Узгоджено:       Z_L = Z_0 → Γ = 0  (без відбиття)

Коефіцієнт стоячої хвилі за напругою:
  КСХН = (1 + |Γ|) / (1 − |Γ|) ∈ [1, ∞)
  КСХН = 1: ідеальне узгодження. КСХН = ∞: повне відбиття (коротке замикання або холостий хід).
  Відбита потужність: |Γ|² від падаючої потужності.

Чвертьхвильовий трансформатор (узгодження імпедансів):
  Ділянка λ/4 з Z_1 = √(Z_0 Z_L) перетворює Z_L на Z_0.
  Смуга пропускання ~ 20% навколо розрахункової частоти.

Діаграма Сміта:
  Комплексна площина Γ, побудована так, щоб кола сталого опору легко наносилися.
  Використовується для узгодження імпедансів, аналізу стійкості та проєктування фільтрів.
  Програмні засоби: ADS, CST, SPICE / AWR Microwave Office.