PL 
EnglishDomyślny
Українська🔘 Reuleaux Polygons
Build genuine curves of constant width from odd-sided regular polygons (3-11 sides). Watch a Reuleaux shape rotate smoothly while inscribed in a square, drilling an almost-square hole, with live width, perimeter (pi times w) and area statistics.
Podobne symulacje
🔘 Co przedstawia
Krzywa stałej szerokości to kształt wypukły, którego szerokość — odległość między dwiema równoległymi prostymi podpierającymi — jest taka sama w każdym kierunku, tak jak w okręgu, ale bez bycia okręgiem. Wielokąty Reuleaux to klasyczna rodzina przykładów niekołowych, zbudowanych z wielokąta foremnego o nieparzystej liczbie boków (3, 5, 7, 9, 11, …). Dla każdego wierzchołka wielokąta bazowego rysuje się łuk kołowy wyśrodkowany w tym wierzchołku, o promieniu równym odległości do dwóch najdalszych od niego wierzchołków (wierzchołków „przeciwległych”) i rozpiętym między nimi. Wynikowa krzywa — n łuków dla wielokąta bazowego o n bokach — ma dokładnie stałą szerokość równą odległości definiującej przekątną/bok wielokąta, ponieważ łuk wyśrodkowany w dowolnym wierzchołku zawsze przechodzi przez punkty w dokładnie tej samej, ustalonej odległości.
Najprostszym i najsłynniejszym przypadkiem jest trójkąt Reuleaux (n = 3): zaczynając od trójkąta równobocznego, rysuje się trzy łuki, każdy wyśrodkowany w jednym wierzchołku o promieniu równym długości boku trójkąta, łączące pozostałe dwa wierzchołki. Jego obwód wynosi dokładnie π·w (tak samo jak okrąg o średnicy w, zgodnie z twierdzeniem Barbiera — każda krzywa stałej szerokości w ma obwód π·w), podczas gdy jego pole jest mniejsze niż pole okręgu o tej samej szerokości: A = (π − √3)·w²/2 ≈ 0,7048·w² dla trójkąta, w porównaniu do π·w²/4 ≈ 0,7854·w² dla okręgu.
Jak korzystać
- Wybierz liczbę boków wielokąta bazowego (musi być nieparzysta: 3, 5, 7, 9 lub 11) z listy rozwijanej.
- Dostosuj suwak Szerokość, aby przeskalować kształt.
- Włącz Pokaż linie konstrukcyjne, aby zobaczyć leżący u podstaw wielokąt foremny i promienie od środka każdego łuku do jego dwóch punktów końcowych.
- Włącz Obracaj w kwadracie, aby animować wielokąt Reuleaux obracający się wpisany w kwadrat — jego środek ciężkości kreśli niewielką ścieżkę (nie jest punktem stałym!), dzięki czemu kształt pozostaje w stałym kontakcie ze wszystkimi czterema bokami kwadratu pod każdym kątem obrotu, bezpośrednio demonstrując stałą szerokość.
Czy wiesz, że?
Trójkąt Reuleaux to kształt leżący u podstaw silnika Wankla, w którym rotor w kształcie trójkąta Reuleaux obraca się wewnątrz specjalnie ukształtowanej obudowy. Ponieważ ma stałą szerokość, trójkąt Reuleaux (w praktyce lekko zaokrąglony na narożnikach) można też zamontować w specjalnym urządzeniu wiertniczym, aby wywiercić otwór, który jest prawie — ale nie całkiem dokładnie — kwadratowy, o lekko zaokrąglonych narożnikach, ponieważ środek obrotu kształtu musi wędrować po niewielkiej ścieżce, zamiast pozostawać nieruchomy. Kilka monet opiera się na krzywych stałej szerokości zbudowanych z łuków w stylu Reuleaux, dzięki czemu automaty sprzedające mogą je rozpoznawać po średnicy niezależnie od orientacji — brytyjskie monety 50 i 20 pensów to siedmioboczne krzywe stałej szerokości (choć zbudowane z łuków wyśrodkowanych na środku przeciwległego boku, a nie z czystej konstrukcji Reuleaux opartej na wierzchołkach, pokazanej tutaj).
O tej symulacji
Ten symulator konstruuje prawdziwe wielokąty Reuleaux — krzywe stałej szerokości zbudowane z wielokątów foremnych o nieparzystej liczbie boków. Dla każdego wierzchołka bazowego n-kąta rysowany jest rzeczywisty łuk kołowy wyśrodkowany w tym wierzchołku, rozpięty między dwoma najdalszymi („przeciwległymi”) wierzchołkami, z promieniem obliczanym bezpośrednio z geometrii samego wielokąta, a nie przybliżanym.
🔬 Co przedstawia
Zaczynając od wielokąta foremnego o nieparzystej liczbie boków n, rysowanych jest n łuków, każdy wyśrodkowany w jednym wierzchołku, o promieniu równym szerokości w (odległości wierzchołek-przeciwległy wierzchołek). Ponieważ każdy łuk ma ten sam promień w i każdy jest wyśrodkowany na wierzchołku tego samego wielokąta, wynikowa krzywa ma identyczną szerokość w mierzoną w każdym kierunku.
🎮 Jak korzystać
Wybierz liczbę boków (3, 5, 7, 9 lub 11) i dostosuj suwak Szerokość, aby przeskalować kształt. Przełącz Pokaż linie konstrukcyjne, aby odsłonić leżący u podstaw wielokąt i promienie ze środków łuków, i włącz Obracaj w kwadracie, aby obserwować obracający się kształt, którego środek ciężkości kreśli niewielką ścieżkę, utrzymując stały kontakt ze wszystkimi czterema bokami kwadratu.
💡 Czy wiesz, że?
Trójkąt Reuleaux jest wykorzystywany jako kształt rotora w silnikach Wankla, oraz (z lekko zaokrąglonymi narożnikami) w specjalistycznych wiertłach mogących wyciąć otwór, który jest prawie, ale nie dokładnie, kwadratowy — środek wiertła musi wędrować po niewielkiej ścieżce, zamiast pozostawać w stałym miejscu.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest krzywa stałej szerokości?
To kształt wypukły, w którym odległość między dowolnymi dwiema równoległymi prostymi stykającymi się z kształtem po przeciwnych stronach (jego „szerokość” w tym kierunku) jest dokładnie taka sama bez względu na kierunek pomiaru. Okrąg jest najbardziej znanym przykładem, ale wielokąty Reuleaux pokazują, że wiele niekołowych kształtów też dzieli tę właściwość.
Dlaczego wielokąt bazowy musi mieć nieparzystą liczbę boków?
Konstrukcja opiera się na tym, że każdy wierzchołek ma unikalną parę „najdalszych” wierzchołków, między którymi można poprowadzić łuk. W wielokącie foremnym o nieparzystej liczbie boków każdy wierzchołek ma dokładnie jedną taką przeciwległą parę w maksymalnej odległości przekątnej; w wielokącie o parzystej liczbie boków najdalszy punkt od wierzchołka to pojedynczy wierzchołek dokładnie naprzeciwko, co nie wspiera tej samej konstrukcji łuku stałej szerokości.
Jak wyprowadzono wzór na obwód π·w?
Wynika to z twierdzenia Barbiera, które mówi, że każda krzywa stałej szerokości w, niezależnie od jej dokładnego kształtu, ma obwód dokładnie π·w — tak samo jak okrąg o średnicy w. Dla trójkąta Reuleaux można to też sprawdzić bezpośrednio: trzy łuki, każdy rozpięty na kącie 60° o promieniu w, sumują się do długości łuku równej połowie okręgu, czyli π·w.
Dlaczego pole jest mniejsze niż pole okręgu o tej samej szerokości?
Spośród wszystkich krzywych stałej szerokości w, okrąg zamyka maksymalne możliwe pole (π·w²/4), podczas gdy trójkąt Reuleaux zamyka minimalne możliwe pole, zgodnie z twierdzeniem Blaschkego-Lebesgue'a. Dla trójkąta Reuleaux dokładne pole wynosi (π − √3)·w²/2, wyraźnie mniejsze niż pole okręgu o tej samej szerokości.
Jak obracanie się w kwadracie demonstruje stałą szerokość?
Ponieważ szerokość kształtu jest identyczna w każdym kierunku, można go obrócić o pełny obrót, pozostając w ciągłym kontakcie ze wszystkimi czterema bokami kwadratu o dokładnie takim samym rozmiarze co jego szerokość. W przeciwieństwie do okręgu, jego środek obrotu nie jest ustalony — środek ciężkości kreśli niewielką zamkniętą ścieżkę — dlatego wiertła oparte na krzywej Reuleaux wycinają narożniki, które są tylko prawie, a nie idealnie, kwadratowe.