Криві сталої ширини · Плавно котиться · Свердлить майже квадратні отвори
Крива сталої ширини — це опукла фігура, ширина якої — відстань між двома паралельними опорними прямими — однакова в будь-якому напрямку, точно так само, як у кола, але без того, щоб бути колом. Многокутники Рело — класичне сімейство некруглих прикладів, побудованих із правильного многокутника з непарною кількістю сторін (3, 5, 7, 9, 11, …). Для кожної вершини базового многокутника проводиться дугове коло з центром у цій вершині, радіусом, що дорівнює відстані до двох найвіддаленіших від неї вершин ("протилежних" вершин), і що охоплює простір між ними. Отримана крива — n дуг для базового многокутника з n сторонами — має точно сталу ширину, рівну визначальній діагональній/сторонній відстані многокутника, оскільки дуга з центром у будь-якій вершині завжди проходить через точки на тій самій фіксованій відстані.
Найпростіший і найвідоміший випадок — трикутник Рело (n = 3): почніть із рівностороннього трикутника і проведіть три дуги, кожна з центром в одній вершині та радіусом, що дорівнює довжині сторони трикутника, з'єднуючи дві інші вершини. Його периметр точно дорівнює π·w (так само, як у кола діаметром w, за теоремою Барб'є — кожна крива сталої ширини w має периметр π·w), тоді як його площа менша за площу кола тієї самої ширини: A = (π − √3)·w²/2 ≈ 0,7048·w² для випадку трикутника, порівняно з π·w²/4 ≈ 0,7854·w² для кола.
Трикутник Рело — це форма, що лежить в основі роторного двигуна Ванкеля, де ротор у формі трикутника Рело обертається всередині спеціально сформованого корпусу. Завдяки сталій ширині трикутник Рело (на практиці злегка заокруглений по кутах) також можна встановити у спеціальному свердлі, щоб просвердлити отвір, який є майже — але не зовсім точно — квадратним, зі злегка заокругленими кутами, оскільки центр обертання фігури має описувати невеликий шлях, а не залишатися нерухомим. Кілька монет побудовано на кривих сталої ширини у стилі Рело, щоб торгові автомати могли розпізнавати їх за діаметром незалежно від орієнтації — британські монети 50 та 20 пенсів є 7-сторонніми кривими сталої ширини (хоча побудовані з дугами, центрованими на середині протилежної сторони, а не за чистою побудовою Рело на основі вершин, як показано тут).
Цей симулятор будує справжні многокутники Рело — криві сталої ширини, побудовані з непарносторонніх правильних многокутників. Для кожної вершини базового n-кутника проводиться справжня кругова дуга з центром у цій вершині, що охоплює простір між двома найвіддаленішими ("протилежними") вершинами, з радіусом, обчисленим безпосередньо з геометрії самого многокутника, а не наближеним.
Починаючи з правильного многокутника з непарною кількістю сторін n, проводиться n дуг, кожна з центром в одній вершині та радіусом, що дорівнює ширині w (відстань від вершини до протилежної вершини). Оскільки кожна дуга має однаковий радіус w і кожна центрована на вершині того самого многокутника, отримана крива має однакову ширину w, виміряну в будь-якому напрямку.
Оберіть кількість сторін (3, 5, 7, 9 або 11) і налаштуйте повзунок Ширина, щоб масштабувати фігуру. Перемкніть Показати допоміжні лінії побудови, щоб побачити базовий многокутник і промені центрів дуг, і увімкніть Обертати в квадраті, щоб спостерігати, як фігура обертається, а її центроїд прокреслює невеликий шлях, зберігаючи постійний контакт з усіма чотирма сторонами квадрата.
Трикутник Рело використовується як форма ротора в роторних двигунах Ванкеля, а також (зі злегка заокругленими кутами) у спеціалізованих свердлах, здатних вирізати отвір, який майже, але не зовсім, квадратний — центр свердла має описувати невеликий шлях, а не залишатися нерухомим.
Це опукла фігура, у якої відстань між будь-якими двома паралельними прямими, що торкаються фігури з протилежних боків (її "ширина" в цьому напрямку), точно однакова незалежно від напрямку вимірювання. Коло — найзвичніший приклад, але многокутники Рело показують, що багато некруглих фігур також мають цю властивість.
Побудова спирається на те, що кожна вершина має єдину пару "найвіддаленіших" вершин, між якими проводиться дуга. У непарносторонньому правильному многокутнику кожна вершина має рівно одну таку протилежну пару на максимальній діагональній відстані; у парносторонньому многокутнику найвіддаленіша від вершини точка — це одна вершина точно навпроти, що не підтримує таку саму побудову кривої сталої ширини.
Це випливає з теореми Барб'є, яка стверджує, що кожна крива сталої ширини w, незалежно від її точної форми, має периметр точно π·w — так само, як у кола діаметром w. Для трикутника Рело це також можна перевірити безпосередньо: три дуги, кожна з кутом розхилу 60° і радіусом w, у сумі дають довжину дуги, що дорівнює половині кола, тобто π·w.
Серед усіх кривих сталої ширини w коло охоплює максимально можливу площу (π·w²/4), тоді як трикутник Рело охоплює мінімально можливу площу, згідно з теоремою Блашке–Лебега. Для трикутника Рело точна площа дорівнює (π − √3)·w²/2, що помітно менше за площу кола тієї самої ширини.
Оскільки ширина фігури однакова в будь-якому напрямку, її можна повернути на повне коло, зберігаючи безперервний контакт з усіма чотирма сторонами квадрата, точно такого ж розміру, як її ширина. На відміну від кола, її центр обертання не є нерухомим — центроїд прокреслює невеликий замкнений шлях — саме тому свердла на основі Рело вирізають кути, які лише майже, а не ідеально, квадратні.