📦 Polyhedron Nets (Unfolding 3D Solids)

📦 Co przedstawia

Siatka wielościanu to płaski, dwuwymiarowy wzór połączonych wielokątów, który można złożyć wzdłuż wspólnych krawędzi — jak zagięcia tektury — aby utworzyć zamkniętą bryłę trójwymiarową bez luk i bez nakładania się. Ten symulator oblicza prawdziwą siatkę dla każdej z pięciu brył platońskich (czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan) bezpośrednio z ich rzeczywistych współrzędnych wierzchołków 3D: znajduje każdą ścianę, testując, które punkty są współpłaszczyznowe na otoczce wypukłej, buduje graf tego, które ściany dzielą krawędź, a następnie rozwija drzewo rozpinające przez ten graf, zaczynając od jednej ściany korzeniowej. Każda inna ściana jest dołączana do swojego rodzica przez obrócenie jej płasko wokół wspólnej krawędzi, więc cała bryła rozwija się w jeden połączony, nienachodzący na siebie płaski wzór.

Przesuwanie suwaka Stopień złożenia interpoluje każdą ścianę, niezależnie, między dwiema dokładnymi sztywnymi pozycjami: jej płaską pozycją w przestrzeni siatki (złożenie = 0%) i jej prawdziwą, złożoną pozycją i orientacją 3D (złożenie = 100%). Każda pozycja jest przechowywana jako obrót plus translacja, a obroty są mieszane za pomocą sferycznej interpolacji kwaternionów (slerp), podczas gdy translacje są interpolowane liniowo, więc każda ściana płynnie i ciągle przesuwa się wzdłuż własnej ścieżki zawiasu, gdy bryła się zamyka lub otwiera.

Jak korzystać

• Wybierz bryłę — czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan lub dwudziestościan.
• Przeciągnij suwak Stopień złożenia: 0% pokazuje płaską siatkę, 100% pokazuje w pełni złożoną bryłę, a wartości pośrednie pokazują otwierające się lub zamykające zawiasy.
• Naciśnij Odtwórz, aby automatycznie animować stopień złożenia w przód i w tył, lub Reset, aby wrócić do w pełni złożonej bryły.
• Włącz Autorotację, aby obracać model, dzięki czemu można zobaczyć złożenie z każdego kąta, najbardziej przydatne, gdy bryła jest już w większości złożona.
• Włącz Pokaż etykiety ścian, aby ponumerować każdą ścianę — obserwuj, jak ten sam numer wędruje z pozycji w płaskiej siatce do swojej ostatecznej pozycji na bryle 3D.

Czy wiesz, że?

Daną bryłę zwykle można rozłożyć na wiele różnych poprawnych sposobów, zależnie od tego, które drzewo rozpinające ścian wybierze się do przecięcia. Skromny sześcian — mimo bycia najprostszą bryłą platońską po czworościanie — ma dokładnie 11 odrębnych siatek z dokładnością do obrotu i odbicia, fakt po raz pierwszy rygorystycznie policzony w geometrii rekreacyjnej i kombinatorycznej, a obecnie klasyczny wynik cytowany w edukacji matematycznej. Niektóre to znajomy wzór „krzyża”, inne to znacznie mniej oczywiste, zygzakowate układy. Dwudziestościan, z jego 20 trójkątnymi ścianami, ma zdumiewające 43 380 odrębnych siatek, podczas gdy niektóre niewypukłe wielościany przypuszczalnie nie mają żadnej poprawnej siatki — otwarty problem w geometrii znany jako hipoteza Shepharda dla brył wypukłych (udowodniona) w porównaniu z ogólnymi wielościanami (wciąż nierozwiązana dla niektórych kształtów).

O tej symulacji

Ten symulator oblicza prawdziwe siatki wielościanów dla pięciu brył platońskich na podstawie ich rzeczywistych współrzędnych wierzchołków 3D — znajduje współpłaszczyznowe ściany na otoczce wypukłej, buduje graf sąsiedztwa ścian, rozwija drzewo rozpinające od ściany korzeniowej i obraca każdą inną ścianę płasko wokół wspólnej krawędzi. Złożenie jest animowane przez mieszanie, dla każdej ściany, między jej płaską pozycją w siatce a prawdziwą pozycją 3D za pomocą sferycznej interpolacji kwaternionów (slerp) dla obrotu i interpolacji liniowej dla pozycji, a następnie rzutowanie wyniku prostym, ręcznie napisanym rzutem 3D na 2D z sortowaniem ścian algorytmem malarza.

Najczęściej zadawane pytania