Тетраедр · Куб · Октаедр · Додекаедр · Ікосаедр · Згортання ↔ Розгортання
Розгортка многогранника — це плоский, двовимірний візерунок зі з'єднаних многокутників, який можна згорнути вздовж спільних ребер — як картонні складки — щоб утворити замкнене тривимірне тіло без прогалин і без накладань. Цей симулятор обчислює справжню розгортку для кожного з п'яти правильних многогранників (тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр) безпосередньо з їхніх реальних 3D координат вершин: він знаходить кожну грань, перевіряючи, які точки компланарні на опуклій оболонці, будує граф суміжності граней і потім вирощує остовне дерево через цей граф, починаючи з однієї кореневої грані. Кожна інша грань приєднується до свого батька, повертаючись у площину навколо спільного ребра, тож усе тіло розгортається в один зв'язний, без накладань, плоский візерунок.
Переміщення повзунка Ступінь згортання інтерполює кожну грань незалежно між двома точними твердими позами: її плоскою, позиційованою в розгортці позицією (згортання = 0%) і її справжньою згорнутою 3D позицією та орієнтацією (згортання = 100%). Кожна поза зберігається як обертання плюс перенесення, а обертання змішуються за допомогою сферичної інтерполяції кватерніонів (slerp), тоді як перенесення інтерполюються лінійно, тож кожна грань плавно й неперервно рухається вздовж власного шляху петлі, коли тіло згортається або розкривається.
Одне й те саме тіло зазвичай можна розгорнути багатьма різними коректними способами, залежно від того, яке остовне дерево граней обрано для розрізання. Скромний куб — попри те, що він є найпростішим правильним многогранником після тетраедра — має рівно 11 різних розгорток з точністю до повороту та віддзеркалення — факт, вперше строго перелічений у рекреаційній та комбінаторній геометрії і тепер класичний результат, який цитується в математичній освіті. Деякі з них — знайомий "хрест", інші — значно менш очевидні зигзагоподібні розташування. Ікосаедр із його 20 трикутними гранями має вражаючі 43 380 різних розгорток, тоді як деякі невипуклі многогранники, як припускають, взагалі не мають жодної коректної розгортки — відкрита проблема в геометрії, відома як гіпотеза Шефарда для опуклих тіл (доведена) проти загальних многогранників (досі не вирішена для деяких форм).
Цей симулятор обчислює справжні розгортки многогранників для п'яти правильних многогранників з їхніх фактичних 3D координат вершин — він знаходить компланарні грані на опуклій оболонці, будує граф суміжності граней, вирощує остовне дерево з кореневої грані та повертає в площину кожну іншу грань навколо спільного ребра. Згортання анімується змішуванням, для кожної грані окремо, між її плоскою позою в розгортці та справжньою 3D позою за допомогою сферичної інтерполяції кватерніонів для обертання та лінійної інтерполяції для позиції, а потім проєктуванням результату за допомогою простої власноруч написаної проєкції 3D-у-2D та сортування граней методом художника.
Реальні дані вершин для тетраедра, куба, октаедра, додекаедра та ікосаедра. Грані виявляються перевіркою компланарності на опуклій оболонці, суміжність знаходиться через спільні ребра, а остовне дерево обходу в ширину визначає рівно один спосіб розрізати тіло на єдину зв'язну розгортку.
Виберіть Тіло, потім перетягніть Ступінь згортання між 0% (плоска розгортка) і 100% (згорнуте тіло). Натисніть Відтворити, щоб автоматично анімувати згортання, увімкніть Авто-обертання, щоб обертати згорнуту форму, і увімкніть Показати номери граней, щоб простежити, яка грань розгортки стає якою гранню 3D тіла.
Куб має рівно 11 різних розгорток з точністю до повороту та віддзеркалення — класичний результат у рекреаційній геометрії. Ікосаедр із 20 гранями має 43 380 різних розгорток, а пошук коректних розгорток для довільних невипуклих многогранників залишається відкритим математичним питанням.
Розгортка — це двовимірне розташування многокутників, з'єднаних край до краю, яке згортається у замкнене тривимірне тіло без прогалин і без накладених граней. Кожна грань тіла з'являється в розгортці рівно один раз, а суміжні грані в розгортці мають спільне ребро, вздовж якого вони згортатимуться.
Він будує граф, де кожна грань є вузлом, а дві грані з'єднані, якщо мають спільне ребро, потім запускає пошук у ширину з однієї стартової грані, щоб побудувати остовне дерево. Кожна грань потім повертається в площину відносно свого батька в дереві, гарантуючи єдину зв'язну розгортку без повторень чи пропусків граней.
Кожна грань має точну плоску позу (0% згортання) та точну згорнуту 3D позу (100% згортання), обчислені з реальної геометрії. Проміжні положення змішують дві пози для кожної грані за допомогою сферичної інтерполяції кватерніонів для обертання та лінійної інтерполяції для позиції, що відтворює плавний, неперервний рух петлі, узгоджений зі справжніми двогранними кутами тіла на обох кінцях.
Двогранний кут — це внутрішній кут між двома суміжними гранями, коли тіло повністю згорнуте. Він залежить від того, скільки граней сходяться в кожному ребрі та вершині: приблизно 70,5° для тетраедра, рівно 90° для куба, приблизно 109,5° для октаедра, приблизно 116,6° для додекаедра та приблизно 138,2° для ікосаедра, зростаючи, коли тіло стає все більш сферичним.
Рівно 11, якщо рахувати розгортки, які є поворотами чи віддзеркаленнями одна одної, як одну й ту саму розгортку. Це відомо щонайменше з середини 20-го століття і є популярним результатом у рекреаційній математиці; інші правильні многогранники мають набагато більше коректних розгорток, наприклад ікосаедр має 43 380.