PL 
EnglishDomyślny
УкраїнськаO tej symulacji
To narzędzie rysuje trójkąt Pascala jako siatkę okrągłych komórek, w której każda wartość jest sumą dwóch liczb znajdujących się nad nią: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). Każda wartość jest współczynnikiem dwumianowym n!/(k!(n−k)!), liczącym liczbę sposobów wyboru k elementów spośród n. Poza samą arytmetyką trójkąt kryje zaskakującą strukturę: kolorowanie komórek według parzystości ujawnia fraktalny trójkąt Sierpińskiego, płytkie przekątne sumują się do liczb Fibonacciego, a sumy wierszy są potęgami dwójki.
🔬 Co pokazuje
Trójkąt jest budowany wiersz po wierszu według rekurencji Pascala, a następnie rysowany na płótnie (canvas). Kolorowanie „wartość" w skali logarytmicznej odzwierciedla wielkość liczby; „parzystość" rozróżnia wpisy nieparzyste i parzyste, ujawniając fraktal Sierpińskiego; a „mod N" koloruje każdą komórkę według reszty z dzielenia przez N. Opcjonalne obramowania zaznaczają przekątne Fibonacciego, liczby trójkątne i potęgi dwójki.
🎮 Jak korzystać
Przeciągnij suwak „Wiersze" (od 3 do 20), aby ustawić głębokość trójkąta. Wybierz tryb kolorowania za pomocą trzech przycisków; wybranie „Mod N" odsłania pole liczbowe do ustawienia dzielnika (od 2 do 20). Pola wyboru podświetlają przekątną Fibonacciego, liczby trójkątne i potęgi dwójki oraz włączają podgląd po najechaniu. Najedź lub kliknij dowolną komórkę, aby odczytać jej wartość C(n,k), wiersz, pozycję i wzór silniowy.
💡 Czy wiesz, że…
Komórka C(n,k) jest nieparzysta dokładnie wtedy, gdy w zapisie binarnym każdy bit liczby k jest też ustawiony w n — twierdzenia Kummera i Lucasa łączą to z wzorem Sierpińskiego. Dlatego kolorowanie według parzystości tworzy samopodobny fraktal, a nie przypadkowy rozrzut nieparzystych komórek.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest trójkąt Pascala?
Trójkąt Pascala to trójkątna tablica liczb, w której każda wartość jest sumą dwóch liczb leżących ukośnie nad nią, a wzdłuż obu krawędzi znajdują się jedynki. Liczba w wierszu n, na pozycji k, jest równa współczynnikowi dwumianowemu C(n,k), więc trójkąt to zwarta tablica wszystkich współczynników pojawiających się przy rozwinięciu (a+b) podniesionego do potęgi.
Jak obliczana jest każda liczba?
Symulacja wykorzystuje rekurencję C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k), sumując dwie komórki znajdujące się powyżej, aby wypełnić każdy nowy wiersz. Tę samą wartość można obliczyć bezpośrednio ze wzoru n!/(k!(n−k)!), który wyświetla się po najechaniu lub kliknięciu komórki. Obie metody zawsze dają ten sam wynik, ponieważ liczą to samo: liczbę sposobów wyboru k elementów spośród n.
Do czego służą tryby kolorowania i pole N?
„Skala wartości" cieniuje każdą komórkę w skali logarytmicznej, dzięki czemu widoczne są zarówno małe, jak i bardzo duże liczby. „Parzystość" dzieli komórki na nieparzyste i parzyste, ujawniając trójkąt Sierpińskiego. „Mod N" koloruje każdą komórkę według reszty z dzielenia przez N, gdzie N można ustawić od 2 do 20; różne dzielniki ujawniają różne samopodobne wzory.
Dlaczego wzór parzystości wygląda jak fraktal?
Gdy pozostawimy tylko wpisy nieparzyste, pozostałe komórki tworzą trójkąt Sierpińskiego — klasyczny fraktal. Powodem jest twierdzenie Lucasa: C(n,k) jest nieparzyste tylko wtedy, gdy bity binarne liczby k nigdy nie przekraczają odpowiednich bitów n. Ten bitowy warunek powtarza się w każdej skali, więc te same trójkątne puste obszary pojawiają się wciąż na nowo w miarę rozrastania się trójkąta.
Skąd biorą się liczby Fibonacciego i liczby trójkątne?
Sumowanie wpisów wzdłuż płytkich „wznoszących się" przekątnych trójkąta daje ciąg Fibonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8 i tak dalej, który zaznacza podświetlenie Fibonacciego. Liczby trójkątne 1, 3, 6, 10, 15 leżą na trzeciej przekątnej, a suma każdego wiersza trójkąta jest potęgą dwójki, więc wszystkie trzy podświetlone wzory są dokładnymi tożsamościami matematycznymi, a nie przypadkiem.