Цей інструмент малює трикутник Паскаля як сітку круглих клітинок, де кожен елемент є сумою двох чисел над ним: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). Кожне значення дорівнює біноміальному коефіцієнту n!/(k!(n−k)!), що підраховує кількість способів обрати k елементів з n. Окрім арифметики, трикутник приховує разючу структуру: розфарбування клітинок за парністю виявляє фрактальний трикутник Серпинського, скошені діагоналі дають у сумі числа Фібоначчі, а суми рядків дорівнюють степеням двійки.
Трикутник будується рядок за рядком за рекурентністю Паскаля, а потім малюється на полотні. Розфарбування «за значенням» з логарифмічною шкалою затінює клітинки за величиною; «парність» розфарбовує непарні та парні елементи, щоб показати фрактал Серпинського; а «mod N» розфарбовує кожну клітинку за остачею від ділення на N. Додаткові контури позначають діагоналі Фібоначчі, трикутні числа та степені двійки.
Перетягуйте повзунок «Рядки» (від 3 до 20), щоб задати глибину трикутника. Оберіть режим кольору трьома кнопками; вибір «За mod N» відкриває числове поле для задання дільника (від 2 до 20). Прапорці виділяють діагональ Фібоначчі, трикутні числа та степені двійки, а також вмикають перегляд при наведенні. Наведіть або клацніть будь-яку клітинку, щоб побачити її значення C(n,k), рядок, позицію та факторіальну формулу.
Клітинка C(n,k) є непарною тоді й лише тоді, коли у двійковому записі кожен біт k також встановлений у n — теореми Куммера та Люка пов’язують це з патерном Серпинського. Саме тому розфарбування за парністю утворює самоподібний фрактал, а не випадкове розсіювання непарних клітинок.
Трикутник Паскаля — це трикутний масив чисел, у якому кожен елемент є сумою двох елементів, розташованих по діагоналі над ним, з одиницями вздовж обох країв. Число в рядку n, позиції k дорівнює біноміальному коефіцієнту C(n,k), тож трикутник є компактною таблицею кожного коефіцієнта, що з’являється при розкладанні (a+b) у степінь.
Симуляція використовує рекурентність C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k), додаючи дві клітинки зверху для заповнення кожного нового рядка. Те саме значення можна обчислити безпосередньо за формулою n!/(k!(n−k)!), яка показується при наведенні чи клацанні клітинки. Обидва методи завжди збігаються, бо рахують одне й те саме: кількість способів обрати k елементів з n.
«За значенням» затінює кожну клітинку за логарифмічною шкалою, тож і малі, і дуже великі числа залишаються видимими. «Парність» поділяє клітинки на непарні й парні, виявляючи трикутник Серпинського. «Mod N» розфарбовує кожну клітинку за остачею після ділення на N, де N можна задати від 2 до 20; різні дільники виявляють різні самоподібні патерни.
Якщо залишити лише непарні елементи, клітинки, що вціліли, утворюють трикутник Серпинського — класичний фрактал. Причина — теорема Люка: C(n,k) непарне лише тоді, коли двійкові цифри k ніколи не перевищують відповідних цифр n. Ця побітова умова повторюється на кожному масштабі, тож ті самі трикутні порожнечі з’являються знову й знову зі зростанням трикутника.
Сумування елементів уздовж скошених «висхідних» діагоналей трикутника дає послідовність Фібоначчі 1, 1, 2, 3, 5, 8 і так далі, яку окреслює підсвічення Фібоначчі. Трикутні числа 1, 3, 6, 10, 15 розташовані вздовж третьої діагоналі, а кожен рядок трикутника у сумі дає степінь двійки, тож усі три виділені патерни є точними математичними тотожностями, а не збігами.