PL 
EnglishDomyślny
Українська📈 Drgania nieliniowe — oscylator Duffinga
Poznaj oscylator Duffinga: ruch chaotyczny, portrety fazowe, przekroje Poincarégo i diagramy bifurkacji z podwajaniem okresu. Interaktywna dynamika nieliniowa.
O tej symulacji
Ta symulacja numerycznie całkuje oscylator Duffinga, ẍ + δẋ + αx + βx³ = γ·cos(ωt), za pomocą czterorzędowego schematu Rungego–Kutty. Przy ujemnej sztywności liniowej α i dodatniej sztywności sześciennej β, potencjał układu V(x) = ½αx² + ¼βx⁴ tworzy podwójną studnię, dając oscylatorowi dwa stabilne punkty spoczynku, między którymi może przeskakiwać pod wpływem okresowego wymuszenia. W zależności od tłumienia δ, amplitudy wymuszenia γ i częstotliwości wymuszenia ω, trajektoria może ustalić się w prostej orbicie okresowej, cyklu z podwojonym okresem lub w pełni chaotycznym ruchu — klasyczny przykład chaosu deterministycznego w niskowymiarowym układzie nieliniowym.
🔬 Co pokazuje
Cztery powiązane widoki tej samej trajektorii: portret fazowy położenia x względem prędkości ẋ, przekrój Poincarégo, który próbkuje (x, ẋ) raz na okres wymuszenia, aby ujawnić strukturę atraktora, diagram bifurkacyjny nanoszący długoterminowe punkty Poincarégo względem amplitudy wymuszenia γ, oraz przebieg czasowy x(t).
🎮 Jak korzystać
Przeciągnij suwaki α, β, δ, γ i ω, aby przekształcić studnie potencjału, tłumienie i wymuszenie. Użyj przycisków presetów Okresowy, Okres-2, Chaotyczny i Sztywna sprężyna, aby przeskoczyć bezpośrednio do charakterystycznych reżimów, i naciśnij Skanuj bifurkację, aby przeciągnąć γ od 0 do 1,5 i wykreślić wynikowy diagram bifurkacyjny. Przełączaj się między zakładkami Portret fazowy, Przekrój Poincarégo, Bifurkacja i x(t), aby zmienić to, co wyświetla główny canvas.
💡 Czy wiesz, że...?
Równanie Duffinga zostało pierwotnie wyprowadzone przez Georga Duffinga w 1918 roku do modelowania zachowania usztywniającej się sprężyny w nieliniowych oscylatorach mechanicznych, dziesiątki lat przed powstaniem „teorii chaosu” jako dziedziny — później stało się jednym z pierwszych podręcznikowych układów wykorzystywanych do demonstrowania dróg do chaosu przez podwajanie okresu.
Najczęściej zadawane pytania
Co czyni oscylator Duffinga „nieliniowym”?
Wyraz βx³ sprawia, że siła przywracająca jest nieliniowa: w przeciwieństwie do prostej sprężyny, gdzie siła jest proporcjonalna do wychylenia, tutaj siła rośnie z sześcianem x. W połączeniu z ujemnym wyrazem liniowym α tworzy to potencjał podwójnej studni, gdzie wypadkowa siła przywracająca może pchać masę w stronę jednego z dwóch stabilnych położeń zamiast pojedynczej równowagi.
Dlaczego układ ma dwie „studnie”?
Gdy α jest ujemne, a β dodatnie, funkcja energii potencjalnej V(x) = ½αx² + ¼βx⁴ ma lokalne maksimum w x = 0 i dwa lokalne minima po obu stronach. Te minima to dwie studnie; bez wymuszenia układ ustaliłby się w tej studni, do której był bliżej na starcie, ale okresowe wymuszenie może przerzucać go tam i z powrotem między nimi.
Czym jest przekrój Poincarégo i dlaczego próbkuje się raz na okres?
Przekrój Poincarégo bierze ciągłą trajektorię i rejestruje jej stan tylko w stałych odstępach, tutaj raz na każdy okres wymuszenia T = 2π/ω. Dla czysto okresowej orbity daje to pojedynczy powtarzający się punkt, dla cyklu okresu 2 daje dwa naprzemienne punkty, a dla ruchu chaotycznego daje rozproszoną, fraktalną chmurę punktów zwaną dziwnym atraktorem.
Jak diagram bifurkacyjny odnosi się do portretu fazowego?
Diagram bifurkacyjny jest budowany przez ustalenie wszystkich parametrów oprócz γ, uruchomienie symulacji do stanu ustalonego dla każdej wartości γ i wykreślenie wynikowych współrzędnych x Poincarégo jako pionowych przekrojów. Tam, gdzie diagram pokazuje pojedynczy punkt na γ, portret fazowy pokazuje prostą pętlę okresową; tam, gdzie rozszerza się w gęste pasmo, portret fazowy pokazuje splątaną, niepowtarzającą się trajektorię charakterystyczną dla chaosu.
Dlaczego zwiększanie amplitudy wymuszenia γ prowadzi do chaosu?
Wraz ze wzrostem γ energia wpompowywana w każdym okresie rośnie i w końcu trajektoria ma wystarczająco energii, aby uciec z jednej studni i przejść do drugiej. W pobliżu tego przejścia układ staje się niezwykle czuły na warunki początkowe: dwa niemal identyczne stany startowe rozbiegają się wykładniczo, co jest definiującą sygnaturą chaosu deterministycznego, widoczną tutaj jako kaskady podwajania okresu prowadzące do szerokopasmowego, aperiodycznego ruchu.
Odkrywaj oscylator Duffinga: ruch chaotyczny, portrety fazowe, przekroje Poincarégo i diagramy bifurkacyjne podwajania okresu. Interaktywna dynamika nieliniowa.
3D · Renderer Three.js / WebGL · cel 60 FPS · działa w całości po stronie klienta, bez instalacji