PL 
EnglishDomyślny
Українська🧊 Gąbka Mengera
Kanoniczny fraktal 3D: podziel każdą kostkę na 27 mniejszych i zostaw 20, potem powtórz. Renderowany jako SDF raymarchowany w GLSL, z poziomem iteracji 0–5, polem powierzchni i wymiarem Hausdorffa log20/log3.
Podobne symulacje
O tej symulacji
Gąbka Mengera powstaje przez podzielenie sześcianu na siatkę 3×3×3 dwudziestu siedmiu równych podsześcianów, usunięcie jednego centralnego podsześcianu oraz sześciu podsześcianów w środku każdej ściany, a następnie powtórzenie tego samego podziału i usunięcia wewnątrz każdego z dwudziestu pozostałych sześcianów. Każdy kolejny poziom mnoży liczbę wypełnionych sześcianów przez dwadzieścia, jednocześnie zmniejszając całkowitą wypełnioną objętość o czynnik 20/27, tworząc misterną siatkę tuneli, będącą jednym z najsłynniejszych fraktali trójwymiarowych.
🔬 Co przedstawia
Sześcian jest naprawdę rekurencyjnie dzielony za pomocą podziału 3×3×3, usuwając centralny podsześcian i sześć podsześcianów środkowych ścian na każdym poziomie, aż do wybranej głębokości rekurencji n. Na głębokości n istnieje dokładnie 20ⁿ wypełnionych podsześcianów, pokrywających ułamek (20/27)ⁿ pierwotnej objętości — obie wartości obliczane są na żywo i renderowane za pomocą jednej siatki instancjonowanej dla wydajności, a następnie pokazywane w panelu statystyk.
🎮 Jak korzystać
Przeciągnij suwak poziomu rekurencji od 0 do 3, aby zmienić głębokość fraktala, przełączaj się między renderowaniem pełnym a szkieletowym oraz włącz autorotację, aby kamera obracała się automatycznie. Przeciągaj, aby obracać ręcznie, przewijaj lub uszczypnij, aby przybliżyć, i użyj Resetuj kamerę, aby wrócić do widoku domyślnego.
💡 Czy wiesz, że?
Gąbka Mengera ma wymiar fraktalny log(20)/log(3) ≈ 2,727 — więcej niż płaska płaszczyzna, ale mniej niż wypełniona bryła. Wraz ze wzrostem rekurencji jej objętość dąży do zera, podczas gdy pole powierzchni rośnie bez ograniczeń, zbliżając się do kształtu o zasadniczo nieskończonej powierzchni, obejmującej zasadniczo zerową objętość.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest gąbka Mengera?
Gąbka Mengera to trójwymiarowy fraktal powstający przez podzielenie sześcianu na siatkę 3×3×3 dwudziestu siedmiu równych podsześcianów, usunięcie centralnego podsześcianu i sześciu podsześcianów w środku każdej ściany, a następnie powtarzanie tego samego procesu wewnątrz każdego z dwudziestu pozostałych podsześcianów w nieskończoność. Została po raz pierwszy opisana przez austriacko-amerykańskiego matematyka Karla Mengera w 1926 roku.
Jak konstruowana jest gąbka Mengera?
Zaczynając od pełnego sześcianu, dzieli się go na dwadzieścia siedem mniejszych sześcianów ułożonych w siatkę 3×3×3. Usuwa się jeden sześcian dokładnie w centrum oraz sześć sześcianów wyśrodkowanych na każdej ścianie, pozostawiając dwadzieścia sześcianów w narożnikach i na krawędziach siatki. Ta sama reguła podziału i usuwania jest następnie stosowana ponownie wewnątrz każdego z tych dwudziestu sześcianów, i tak dalej dla każdego kolejnego poziomu.
Ile sześcianów pozostaje po n iteracjach?
Po n iteracjach istnieje dokładnie 20ⁿ wypełnionych podsześcianów, ponieważ każdy krok podziału zachowuje 20 z 27 sześcianów w siatce, a dzieje się to niezależnie wewnątrz każdego sześcianu, który przetrwał poprzedni poziom. Na przykład na głębokości 3 jest 20³ = 8000 sześcianów.
Co dzieje się z objętością i polem powierzchni wraz ze wzrostem rekurencji?
Każdy poziom zachowuje 20/27 objętości sprzed niego, więc po n iteracjach pozostała objętość wynosi (20/27)ⁿ pierwotnego sześcianu, dążąc do zera wraz ze wzrostem n. Jednocześnie każdy krok usuwania odsłania nowe wewnętrzne ściany, więc całkowite pole powierzchni gąbki w rzeczywistości rośnie bez ograniczeń, mimo że jej objętość zanika.
Jaki jest wymiar fraktalny gąbki Mengera?
Jej wymiar Hausdorffa wynosi log(20)/log(3), czyli w przybliżeniu 2,7268. Leży to pomiędzy wymiarem płaskiej płaszczyzny (2) a pełnym wypełnionym sześcianem (3), odzwierciedlając fakt, że gąbka wypełnia przestrzeń dokładniej niż jakakolwiek płaska powierzchnia, ale pozostawia nieskończenie wiele otworów, więc nigdy nie wypełnia pełnej objętości bryły.