PL 
EnglishDomyślny
Українська📉 Odwzorowanie logistyczne
Słynny diagram bifurkacyjny x→rx(1−x): punkt stały → okres 2 → okres 4 → chaos. Przybliż, by zobaczyć samopodobną strukturę Feigenbauma, animuj pajęczynę i patrz, jak wykładnik Lapunowa zmienia znak.
O tej symulacji
Ta symulacja iteruje odwzorowanie logistyczne xn+1 = r·xn·(1−xn), jedno z najprostszych równań produkujących prawdziwy chaos. Dla każdej kolumny diagramu bifurkacyjnego przemiata współczynnik wzrostu r w zakresie [0, 4], odrzuca pewną liczbę przejściowych iteracji, a następnie nanosi długoterminowe wartości, na których ustala się x, jako obraz gęstości. Widok pajęczyny śledzi tę samą iterację geometrycznie względem paraboli y = r·x·(1−x) i przekątnej y = x, podczas gdy widok szeregu czasowego nanosi xn krok po kroku. Pętla w tle szacuje też okres orbity i jej wykładnik Lapunowa, aby sklasyfikować bieżący reżim.
🔬 Co pokazuje
Gdy r przekracza 1, punkt stały staje się stabilny, po 3 rozdziela się na cykl 2, a dalsze podwojenia okresu (4, 8, 16…) kumulują się przy r ≈ 3,5699 — początek chaosu. Poza tym punktem diagram bifurkacyjny wypełnia się gęstymi, chaotycznymi pasmami przerywanymi wąskimi oknami okresowymi, z których najwyraźniejsze to okno okresu 3 w okolicach r ≈ 3,828–3,857, do którego przenosi przycisk „Przejdź do okna okresu-3”.
🎮 Jak korzystać
Przełączaj się między widokami Bifurkacja, Pajęczyna, Szereg czasowy lub Wszystkie. Przeciągnij r (0–4), aby przemieszczać się przez kaskadę, ustaw początkowe x₀ (0,001–0,999) i dostosuj liczbę iteracji na kolumnę oraz pomijane stany przejściowe, aby wymienić szczegół na szybkość renderowania. Na diagramie bifurkacyjnym możesz przeciągnąć prostokąt, aby przybliżyć obszar i zobaczyć powtarzającą się samopodobną strukturę Feigenbauma; Resetuj powiększenie wraca do pełnego zakresu [0, 4], a Pauza zamraża animację pajęczyny.
💡 Czy wiesz, że...?
Kaskada podwajania okresu w odwzorowaniu logistycznym zbiega z uniwersalnym tempem opisanym stałą Feigenbauma δ ≈ 4,6692, która pojawia się w ten sam sposób w niezliczonych innych układach chaotycznych — rzadki przypadek prawdziwie uniwersalnej liczby w dynamice nieliniowej.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest równanie odwzorowania logistycznego?
Jest to iteracja xn+1 = r·xn·(1−xn), gdzie x to wartość między 0 a 1 (często modelująca ułamek populacji), a r to parametr współczynnika wzrostu między 0 a 4. Mimo swojej prostoty, wielokrotne zastosowanie tego jednego wzoru produkuje wszystko od stabilnych stanów równowagi, przez cykle okresowe, po pełny chaos, w zależności wyłącznie od wartości r.
Co dokładnie pokazuje diagram bifurkacyjny?
Dla każdej wartości r wzdłuż osi poziomej symulacja iteruje odwzorowanie wiele razy, pomija początkowy przebieg iteracji przejściowych, aby orbita się ustabilizowała, a następnie nanosi pozostałe wartości x jako punkty ułożone pionowo. Tam, gdzie odwzorowanie ustala się na jednej wartości, widzisz pojedynczy punkt; tam, gdzie ustala się w cyklu, widzisz niewielką liczbę gałęzi; tam, gdzie jest chaotyczne, widzisz gęstą smugę, kolorowaną według tego, jak często dany piksel jest odwiedzany.
Dlaczego chaos pojawia się w okolicach r ≈ 3,5699?
Wraz ze wzrostem r powyżej 3, pojedyncza stabilna równowaga rozdziela się na cykl 2, potem cykl 4, potem cykl 8 i tak dalej — kaskada podwajania okresu. Wartości r, przy których zachodzą te podziały, zbliżają się do siebie geometrycznie, a cała kaskada kumuluje się przy r ≈ 3,56995, znanym jako punkt Feigenbauma. Poza nim orbita nie ustala się już w żadnym skończonym cyklu, a dynamika staje się chaotyczna, choć nadal pojawiają się wąskie okna okresowe (jak okres 3 w pobliżu r ≈ 3,83).
Co pokazuje wykres pajęczyny?
Widok pajęczyny rysuje parabolę y = r·x·(1−x) razem z przekątną y = x, a następnie śledzi iterację krok po kroku: pionowa linia od xn w górę do paraboli daje xn+1, a pozioma linia do przekątnej przenosi tę wartość z powrotem na oś x dla następnego kroku. Obserwowanie, jak ta schodkowa ścieżka ustala się w punkcie, odbija się między kilkoma punktami lub błądzi erratycznie, wizualnie pokazuje, czy bieżące r daje stabilność, okresowość czy chaos.
Co mówi ci wykładnik Lapunowa?
Wykładnik Lapunowa λ mierzy, jak szybko dwa bliskie punkty startowe rozbiegają się (lub zbiegają) pod wpływem wielokrotnej iteracji odwzorowania. Gdy λ jest ujemne, orbita jest stabilna lub okresowa; gdy λ jest bardzo bliskie zeru, układ znajduje się na krawędzi chaosu (często dokładnie w punkcie podwajania okresu); a gdy λ jest dodatnie, dynamika jest chaotyczna — drobne różnice w x₀ rosną wykładniczo, co jest cechą charakterystyczną czułej zależności od warunków początkowych.
Słynny diagram bifurkacyjny x→rx(1−x): punkt stabilny → okres-2 → okres-4 → chaos. Przybliż, aby zobaczyć samopodobną strukturę Feigenbauma, animuj pajęczynę i obserwuj, jak wykładnik Lapunowa zmienia znak.
3D · Renderer Three.js / WebGL · cel 60 FPS · działa w całości po stronie klienta, bez instalacji