⛓ Łańcuch i lina — symulacja Position-Based Dynamics

PBD to metoda symulacji, która wymusza więzy geometryczne bezpośrednio na pozycjach cząstek, zamiast poprzez siły. W każdym kroku czasowym węzły są najpierw swobodnie przemieszczane przez grawitację metodą całkowania Verleta, a następnie solver iteruje po każdym ogniwie i przesuwa sąsiednie węzły, aż wszystkie długości ogniw osiągną wartość docelową. Podejście to jest szybkie, stabilne nawet przy dużych krokach czasowych i naturalnie zapobiega rozciąganiu liny, dzięki czemu jest preferowaną techniką dla interaktywnej liny i tkaniny w grach i efektach filmowych.

Przeciągnij dowolny węzeł bezpośrednio na płótnie, by pociągnąć ten punkt łańcucha; puść, by swobodnie się huśtał. Użyj „Pin left”, by zakotwiczyć lewy koniec u sufitu, „Both”, by zakotwiczyć oba końce, oraz „Free both”, by upuścić cały łańcuch w swobodny spadek. Przycisk „Pulse” popycha środek w górę, wywołując falę poprzeczną, a „Reset” przywraca domyślną konfigurację. Dostosuj suwaki Links N, Gravity, Damping i Stiffness, by na bieżąco eksplorować wpływ każdego parametru na ruch.

Gdy oba końce są zakotwiczone na tej samej wysokości, a łańcuch swobodnie zwisa pod wpływem grawitacji, przyjmuje kształt krzywej łańcuchowej opisanej wzorem y = a·cosh(x/a), gdzie a = T0 / (ρ·g) zależy od naprężenia poziomego T0, liniowej gęstości masy ρ i przyspieszenia grawitacyjnego g. Symulacja rysuje delikatną niebieską przerywaną linię odniesienia, gdy oba końce są zakotwiczone na podobnej wysokości.

Gdy fala przemieszcza się w dół zwisającej liny w kierunku swobodnego końca, napotyka coraz mniej ogniw niosących energię. Ponieważ energia jest zachowana, a efektywna masa w ruchu maleje, prędkość końcówki musi rosnąć, by to skompensować. Dla idealnej jednorodnej liny prędkość swobodnego końca może osiągnąć w przybliżeniu √3 razy prędkość początkowego zaburzenia, co w prawdziwym biczu wystarcza, by przekroczyć prędkość dźwięku i wywołać ostry trzask.

Mosty wiszące i podwieszane opierają się na kształtach łańcuchowych i parabolicznych lin, by efektywnie rozkładać obciążenie. Podwodne liny cumownicze platform wiertniczych muszą wytrzymywać dynamiczne obciążenie falowe modelowane równaniami łańcuchowymi. Liny wind, dźwigów i kolejek linowych wymagają od inżynierów przewidywania zwisu, naprężenia i częstotliwości rezonansowych. W robotyce manipulatory napędzane linami wykorzystują modele fizyki liny do sterowania pozycją poprzez naprężenie.

Kształt idealnie elastycznego, jednorodnego łańcucha zwisającego pod własnym ciężarem jest zawsze krzywą łańcuchową, niezależnie od jego liniowej gęstości masy — gęstość znosi się w równaniu kształtu. To, co zmienia się wraz z gęstością, to naprężenie potrzebne do utrzymania tego kształtu: cięższy łańcuch wymaga proporcjonalnie większego naprężenia w punktach zakotwiczenia. W symulacji suwak Gravity skaluje efektywnie ciężar na węzeł, więc zwiększenie grawitacji pogłębia zwis.

Galileusz błędnie sądził w 1638 roku, że zwisający łańcuch tworzy parabolę. Poprawne równanie krzywej łańcuchowej wyprowadzili niezależnie w 1691 roku Gottfried Wilhelm Leibniz, Christiaan Huygens i Johann Bernoulli, odpowiadając na wyzwanie postawione przez Jakoba Bernoulliego. Nazwę „catenary” (od łacińskiego catena, łańcuch) wprowadził Christiaan Huygens w liście z tego samego roku. Dowód Johanna Bernoulliego wykorzystywał nowo wynaleziony rachunek różniczkowy.

Symulacja tkaniny jest dwuwymiarowym rozszerzeniem PBD liny: siatka węzłów połączonych więzami rozciągania, ścinania i zginania. Fizyka ciał miękkich wykorzystuje więzy objętościowe na tym samym szkielecie punktów masowych. Ciecz SPH zastępuje więzy odległościowe siłami ciśnienia, ale dzieli filozofię opartą na cząstkach. Włosy i futro w renderowaniu filmowym używają podobnych modeli łańcuchowych z dodaną skrętnością i sztywnością zginania.

System fizyki Chaos silnika Unreal Engine i fizyka DOTS Unity implementują PBD dla komponentów liny, kabla i tkaniny, umożliwiając interakcję w czasie rzeczywistym. NVIDIA PhysX wykorzystuje solver rozszerzonej dynamiki pozycyjnej (XPBD) podobny do PBD. W efektach filmowych Houdini Vellum i Autodesk Maya nCloth używają solverów wywodzących się z PBD dla lin, włosów i tkanin, ponieważ metoda pozostaje stabilna nawet przy bardzo dużej liczbie więzów.

Standardowe PBD ma znane ograniczenie: pozorna sztywność więzu zależy od liczby iteracji solvera i wielkości kroku czasowego, co utrudnia dostrajanie parametrów fizycznych niezależnie od ustawień numerycznych. Rozszerzone PBD (XPBD), wprowadzone przez Milesa Macklina i Matthiasa Mullera w 2016 roku, dodaje parametr podatności do każdego więzu, dzięki czemu sztywność jest oddzielona od liczby iteracji i kroku czasowego. Obecne kierunki badań obejmują XPBD zrównoleglone na GPU dla milionów segmentów liny oraz parametry podatności uczone na podstawie rzeczywistych testów materiałowych.