⛓️ Krzywa łańcuchowa

Krzywa łańcuchowa to krzywa tworzona przez idealnie elastyczny, jednorodny łańcuch lub linę zwisającą swobodnie pod wpływem grawitacji między dwoma punktami podparcia. W przeciwieństwie do paraboli, opisującej tor pocisku, krzywa łańcuchowa powstaje z równowagi między ciężarem łańcucha a naprężeniem, które zmienia się w sposób ciągły wzdłuż niego. Jej równanie to y = a·cosh(x/a), gdzie cosh to funkcja kosinusa hiperbolicznego.

Przeciągnij dwa żółte okręgi zaczepienia, by zmienić położenie punktów podparcia w dowolnym miejscu płótna. Użyj suwaka Cable length, by dodać lub usunąć długość łańcucha (większa długość oznacza głębszy zwis), a suwaka Density, by zmienić efektywny ciężar na jednostkę długości. Przełącz „Compare parabola”, by nałożyć najlepiej dopasowaną parabolę i zobaczyć, gdzie obie krzywe się rozchodzą.

Parabola powstaje, gdy obciążenie jest rozłożone jednorodnie wzdłuż rozpiętości poziomej, jak w usztywnionej pomoście mostu wiszącego. Krzywa łańcuchowa powstaje, gdy obciążenie jest rozłożone jednorodnie wzdłuż długości łuku samej liny. Ponieważ długość łuku na jednostkę poziomą rośnie w kierunku podpór, krzywa łańcuchowa zakrzywia się tam ostrzej niż parabola. Przy małych stosunkach zwisu do rozpiętości oba kształty są bardzo zbliżone, ale przy głębokich zwisach różnica staje się wyraźnie widoczna.

Parametr a równa się T0/(wg), gdzie T0 to stała pozioma składowa naprężenia, w to liniowa gęstość masy łańcucha, a g to przyspieszenie grawitacyjne. W symulacji wartość a jest rozwiązywana numerycznie: dla danej rozpiętości poziomej i całkowitej długości liny L równanie 2a·sinh(D/2a) = L jest rozwiązywane iteracyjnie metodą Newtona, gdzie D to pozioma odległość między zaczepami.

Linie przesyłowe między słupami zwisają w kształcie krzywej łańcuchowej, a inżynierowie celowo pozwalają na kontrolowany zwis, by zmniejszyć obciążenie naprężeniem wież. Główne liny mostów wiszących o dużej rozpiętości przybliżają krzywe łańcuchowe przed zamocowaniem pomostu; po dodaniu pomostu rozłożone obciążenie przesuwa kształt w stronę paraboli. Odwrócone krzywe łańcuchowe tworzą efektywne konstrukcyjnie łuki ściskane: słynny Gateway Arch w Saint Louis to ważona krzywa łańcuchowa.

Tak. Galileusz uważał, że zwisający łańcuch tworzy parabolę i stwierdził to w swoich Rozważaniach z 1638 roku. Mylił się, a Joachim Jungius wykazał później metodami geometrycznymi, że nie może to być parabola. Poprawne równanie wyprowadzili niezależnie w 1691 roku Christiaan Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz i Johann Bernoulli, odpowiadając na wyzwanie postawione przez Jakoba Bernoulliego.

Słowo „catenary” ukuł Christiaan Huygens w liście z 1690 roku, od łacińskiego catena (łańcuch). Sama krzywa została po raz pierwszy poprawnie opisana matematycznie w 1691 roku, gdy Huygens, Leibniz i Johann Bernoulli niezależnie opublikowali rozwiązania wyzwania postawionego przez Jakoba Bernoulliego. Leibniz wprowadził reprezentację kosinusa hiperbolicznego, która pozostaje standardem do dziś.

Naprężenie T w dowolnym punkcie wzdłuż krzywej łańcuchowej wynosi T(x) = wg·a·cosh(x/a), które jest minimalne w najniższym punkcie (gdzie T = wg·a, czyste naprężenie poziome) i rośnie symetrycznie w kierunku zaczepów. Pozioma składowa naprężenia jest stała wzdłuż całego łańcucha, podczas gdy składowa pionowa równa się wg pomnożonemu przez długość łuku od najniższego punktu.

W systemach elektryfikacji kolei górny przewód jezdny jest celowo naprężany w kształt krzywej łańcuchowej, by utrzymać jednolity kontakt z pantografem przy dużej prędkości. Inżynierowie budowlani wykorzystują odwrócone profile katenoidalne dla murowanych łuków i dachów powłokowych, ponieważ osiągają czyste ściskanie bez momentu zginającego. W lotnictwie sieci kablowe oparte na krzywej łańcuchowej wykorzystywane są w rozkładanych reflektorach anten.