Funkcja Wignera: Gdzie prawdopodobieństwo kwantowe może być ujemne

Przestrzeń fazowa, klasycznie i kwantowo

W mechanice klasycznej stan cząstki jest jednym punktem na wykresie przestrzeni fazowej z pozycji x przeciwko chwilowemu pędowi p, a cała enkystorezona cząstek to gęsta chmura prawdopodobieństwa, którą można w teorii fotografować dokładnie, ponieważ pozycja i chwilowy pęd mogą być pomiarowane z dowolną dokładnością. Mechanika kwantowa zabrania tego: nieprzezroczystość Heisenberga uniemożliwia stanowi, aby kiedykolwiek zajmowały punkt, czy nawet bardzo małą skupioność w przestrzeni fazowej. Eugene Wigner zapytał w 1932 roku, czy obraz przestrzeni fazowej nadal można odtworzyć, i odpowiedź, którą znalazł - funkcja Wignera W(x,p) - to najbardziej podobny do joint distribution prawdopodobieństwa kwantowy model dołączania pozycji i chwilowego pędu.

Tworzenie W(x,p): transformata Wigner

Funkcja Wigner tworzy się z funkcji falowej ψ(x), korzystając z korelacji z odwrotnie odbitym i przesuniętym copyem samej siebie, a następnie przeprowadzając transformację Fouriera na iloczyn zmienną przesunięcia:

W(x,p) = (1 / πħ) ∫ ψ*(x + y) ψ(x - y) e^(2ipy/ħ) dy margińskie wartości odzyskują zwykłe prawdopodobieństwa: ∫ W(x,p) dp = |ψ(x)|² (gęstość prawdopodobieństwa pozycji) ∫ W(x,p) dx = |φ(p)|² (gęstość prawdopodobieństwa pędzu) Te margińskie wartości są dokładnie zwykłymi kwantowymi prawdopodobieństwami, co sprawia, że funkcja W(x,p) jest przydatna, a nie tylko zainteresowana: integralizując po pędzie, odzyskasz tradycyjną rozkład pozycji, integralizując po pozycji, odzyskasz tradycyjny rozkład pędzu. Problem polega na samym wspólnym obiekcie. Dbałość prawdopodobieństwa nigdy nie jest ujemna; funkcja W(x,p) może spadać poniżej zera. Jest rzeczywista, poprawnie normalizowana i poprawnie margińska - ale to nie jest rozkład prawdopodobieństwa w klasycznej sense, co jest powodem, dla którego dziedzina nazywa go rozkładem quasi-prawdopodobieństwa.

W(x,p) = (1 / πħ) ∫ ψ*(x + y) ψ(x - y) e^(2ipy/ħ) dy

marginals recover ordinary probabilities:
  ∫ W(x,p) dp = |ψ(x)|²      (position probability density)
  ∫ W(x,p) dx = |φ(p)|²      (momentum probability density)

Cztery stanowiska, cztery obrazy

Stan pustki - brak fotonów, stan podstawowy oscylatora harmonicznego - ma funkcję Wignera postaci pojedynczego gęsiaka centrowanego w punkcie początkowym, wszędzie nieujemnej. Stan koherentny ( najbliżej

Dlaczego ujemność ma znaczenie

Teorem Hudsona określa to precyzyjnie: funkcja Wignera purego stanu kwantowego jest wszędzie nieujemna, jeśli i tylko jeśli ten stan jest Gaussian. Stan pustki oraz stany koherentne są Gaussian i zachowują się; każdy pureny nie-Gaussian stan - stany Focka, kotów, dowolny stan dodający czy odejmujący pojedynczy fotón - musi mieć pewien obszar ujemnego W. Ujemność jest zatem traktowana w społecznościach optiki kwantowej i obliczeń kwantowych jako zasób: jest to niezbędny składnik dla szerokiej kategorii przewag kwantowych, w tym uniwersalnej kontynuowanej obliczeniowej komputacji kwantowej, a jej objętość (integral |W| minus 1) służy jako miara kwantowym

%20nieklasycznym

%20stanom

Czytanie z termogramu i sposób pomiaru

Nie można pomierzyć x i p jednocześnie, aby narysować W(x,p) bezpośrednio - to by naruszyło tą samą niepewność, której funkcja jest zaprojektowana, aby przestrzegać. Dwa techniki unikają tego problemu. Optyczna homodynowa tomografia pomierza kwadraturę (rotowaną kombinację x i p) na wielu różnych kątach fazowych i odtwarza W za pomocą odwrotnego transformatora Radona, tych samych matematyków używanych w skanowaniu CT. bezpośredni metoda (Banaszek i Wódkiewicz) wykorzystuje fakt, że wartość W(0,0) na pochodnej przestrzeni fazowej, do stałej przystaje dokładnie do oczekiwanej wartości operatora parzystości liczby fotonów - pomiar czy liczbę fotonów jest parzysta lub nieparzysta daje punkt W za darmo, bez konieczności rekonstrukcji tomograficznej. Przesunięcie stanu przed pomiarem parzystości następnie próbuje W od pochodnej, punkt po punkcie. Na termogramie skali kolorów przemieniającej się z niebieskiego na czerwony są standardowe dokładnie dlatego, aby ujemne wklęsło czytelnie odczytywało się jako inny rodzaj koloru niż dodatni wznoszący się obwód obok - najbardziej informacyjnie nadmierny sposób pokazania, że stan opuścił świat klasyczny.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Wigner Function Visualiser: Quantum Phase-Space Heatmap i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.