Zrównoważone rosnące Voronoiego: Jak kryształy wzmacniają powierzchnie płaszczyzny podczas formowania się

Siatki, które rosną aż do spotkania

Rozrzucamy kilka punktów ziaren na płaszczyźnie i pozwalamy im rosnąć w każdym kierunku z taką samą stałą prędkością. Granice, gdzie fronty wzrostu sąsiadujących siatki natrafiają na siebie, tworzą mosaik zawirowanych komórek — diagram Voronoi. Jest to jedna z najprostszych generatywnych procesów w geometrii, a prawie dokładnie tak samo formują się rzeczywiste krystale podczas twardzenia metali lub minerałów z ciekłego stanu.

Matematyka pojedynczej komórki

Każda komora Voronoi to zbiór wszystkich punktów bliższych do swojego własnego seed niż do dowolnego innego seed. Korzystając z standardowej odległości Euklidesowej, granica między dwoma seedami jest prostopadłą bisektrzyną linię łączącej je, więc równoczesne, jednolicie szybkie rozrost z ustalonego zestawu seedów tworzy proste ściany komórek i diagram identyczny z matematycznym tessellationem Voronoi:

cell(i) = { x : dist(x, seed_i) <= dist(x, seed_j) dla wszystkich j != i } Zamiana funkcji odległości całkowicie zmienia charakter mosaiku, nawet jeśli seedy i zasada rozrośnięcia pozostają takie same. Odległość Euklidesowa daje proste bisektrzyny oraz znajome wielokąty wypukłe. Odległość Manhattan (taxicab, |dx| + |dy|) daje ściany komórek pod kątem 45 stopni, tworząc komórki podobne do dzwoneczków. Odległość Chebyshev (max(|dx|, |dy|)) daje komórki z kwadratowymi krawędziami. Wszystkie trzy to taka sama algorytmia, różniąc się jednymHDR linijką.

cell(i) = { x : dist(x, seed_i) <= dist(x, seed_j)  for all j != i }

Czas nukleacji: proste przycięcia w porównaniu z zakrzywionymi

Rzeczywiste krystalizacje rzadko nukl.capitalize(

, True) wszystkie swoje ziarna jednocześnie, a różnica w tym czasie dokładnie oddziela diagram Voronoiego prosty od jego bardziej ogólnej wersji, Johnsona-Mehla. Jeśli każde ziarno pojawia się na momencie zera i rosnie przy tej samej szybkości, granica między dwiema komórkami jest wyznaczona jedynie przez geometrię i pozostaje linią prostą. Jeśli natomiast ziarna nukl.capitalize(

, True) po kolei w czasie, ziarno wcześniejsze ma przewagę — jego przedzielnicę już zaszerzoło przed even istnieje sąsiadujące ziarno opóźnione — więc granica między nimi już nie jest równo odległa w przestrzeni; jest równo odległa w czasie przybycia, co daje zakrzywioną, podobną do hiperboli granicę skierowaną ku wcześniejszemu, niedogodnemu ziarnu.

Równanie Avramiego: jak szybko cała płaszczyzna wypełnia się

Metallurgi studiujacy fazy przemiany — solidifikację metali, kristalizację polimerów — potrzebowali sposobu na prognozowanie, co część materiału uległa tej zmianie do chwili t, a nie tylko końcowej geometrii. Johnson, Mehl, Avrami i Kolmogorow niezależnie odkryli ten sam wynik w latach 30. i 40., teraz nazywany równaniem JMAK lub Avramiego:

X(t) = 1 - exp( -K . t^n ) X(t) = ułamek płaszczyzny/volumenu przemienionego do chwili t K = stała szybkości (szybkość nukleacji razy szybkość rozrostu, połączona) n = wykładnik Avramiego — koduje tryb nukleacji i wymierność Wykładnik n jest liczbą interesującą: dla rozrostu w d wymiarach z stałą, ciągłą nukleacją, n = d + 1 (więc n = 4 dla normalnej solidifikacji trójwymiarowej z kontynuowaną nukleacją); dla saturacji miejsc, gdzie wszystkie nukleacje pojawiają się naraz i rosną tylko potem, n = d dokładnie (n = 3 w trzech wymiarach, n = 2 dla płaszczyzny dwuwymiarowej). Odczytywanie n i K z rzeczywistych danych o ułamku przemiany w zależności od czasu jest standardowym sposobem na diagnozę mechanizmu nukleacji, który faktycznie nastąpił, w pełni na podstawie jednej krzywej.

X(t) = 1 - exp( -K . t^n )

X(t) = fraction of the plane/volume transformed by time t
K    = a rate constant (nucleation rate x growth rate, combined)
n    = the Avrami exponent — encodes nucleation mode and dimensionality

Relaksacja Lloyd'a: sprawdzenie równomierności mosaiki

Diagram Voronoi z siedzeniami rozłożonymi przypadkowo ma tendencję do mieć niektóre bardzo małe, napięte komórki obok dużych, rozwijających się komórek — widocznie szumowe. Algorytm Lloyd'a upraszcza to za pomocą prostej zasady iteracyjnej: oblicz bieżący diagram Voronoi, przesuń każdy siedzibę do środka masy (centrum) swojej własnej komórki i ponownie oblicz. Powtarzanie tego kilkakrotnie konverguje w kierunku tessellation centrówalnego Voronoi, gdzie każda komora jest centrami swojego siedziby — widocznie znacznie bardziej równomierna. Ten sam technikę relaksacji można użyć do generowania rozkładów punktowych z szumem niebieskim oraz do wyrównywania siłek w grafice komputerowej.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Voronoi Growth i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.