Rozprzestrzenianie się wirusów na sieci kontaktowych: dlaczego ważniejsze są węzły-gwiazdki niż R0

Z kompartmentów do grafu

Klasyczny model SIR — Susceptible → Infected → Recovered — zakłada homogeniczne mieszanie populacji: każda narażona osoba ma taki sam szansę spotkania z każdą zakażoną osobą, więc cała epidemia jest opisana dwiema liczbami, prędkością transmisji beta i prędkością wyzdrowiania gamma. Ta założenie to wygodna fikcja. Realne osoby nie mieszają się jednolitymi sposobem; mają stały, gruby zestaw kontaktów — dom, miejsce pracy, kilka przyjaciół — i ta struktura jest grafem: osoby są węzłami, kontakty są krawędziami, a epidemia podróżuje tylko po tych krawędziach, które istnieją.

Uruchamianie modelu SIR na sieci zamiast modelu kompartmentowego nie dodaje rzeczywistości dla samego faktu — zmienia on wynik jakościowy. Dwie populacje o identycznej średniej liczbie kontaktów mogą mieć całkowicie różne rozmiary wybuchu, ponieważ co really liczy to nie jest średni stopień, ale kształt rozkładu stopnia: jak nierównomiernie połączenia są rozłożone między osobami.

Zasady i próg zależny od wariancji stopnia

Na każdym kroku czasowym, każda zarażona węzeł przekazuje do sąsiadującego z nim węzła nieszanego z prawdopodobieństwem zależnym od beta i recyduje z prawdopodobieństwem gamma. To całe model — nie potrzebujemy równań różniczkowych, tylko graf i dwie rzutki monetą na kałużę:

dla każdego zarażonego węzła i: dla każdego sąsiadującego z nim węzła j: jeśli j jest nieszanym i los() < beta: j staje się zarażonym jeśli los() < gamma: i staje się odurzonym (usuniętym z grupy zarażonych) W dobrze wymieszanej populacji próg epidemii to znany R0 = beta/gamma > 1. Na sieci, prawidłowy próg wyliczony na podstawie modelu konfiguracyjnego wynosi R0 = beta / (gamma), gdzie jest średnią stopnia i jest średnią kwadratu stopnia. Ponieważ rośnie z wariancji rozkładu stopnia, dwa grafy o takim samym średnim liczbę kontaktów mogą się znaleźć po drugiej stronie progu, jeśli jeden ma kilka bardzo dobrze łączonych hubów a drugi nie.

for each infected node i:
  for each neighbour j of i:
    if j is susceptible and random() < beta:
      j becomes infected
  if random() < gamma:
    i becomes recovered (removed from the infectious pool)

Huby i paradoks przyjaźni

Małą statystyczną przyczynę ma to, że huby dominują w wybuchach nawet przed uwzględnieniem ich liczby bezpośrednich kontaktów: paradoks przyjaźni. Na średnim poziomie, twoi znajomi mają więcej znajomych niż ty — konsekwencją jest zbiastowanie wielkościowe próbek, ponieważ węzły o wysokiej stopie pojawiają się na wielu listach kontaktowych innych osób ze względu na ich wiele połączeń. Wybierz losowy krawędź w sieci i podążaj po niej, a przylączysz się do węzła o stopie większej niż średnia bardziej często niż bylibyśmy to mogli przewidzieć na podstawie losowości.

Dla epidemii to oznacza, że infekcja nie rozprzestrzenia się równomiernie zewnętrznie — niesprawiedliwie dotyka ona hubów wczesniej, a raz zainfekowane huby retransmitują infekcję do dziesiątek sąsiadów jednocześnie. To dokładnie dlaczego celowe szczepienie węzłów o wysokiej stopie jest znacznie bardziej skuteczne w zapobieganiu wybuchowi niż szczepienie losowej części populacji: usunięcie kilku hubów może spowodować, że spadnie i przesunie sieć ponizej próg.

Losowe, małoświatowe i bezskalowe — trzy stany

Symulacja na tej stronie pozwala przełączać się między trzema klasycznymi modelami sieci, a każdy z nich tworzy widocznie inny krzywa epidemii. Graf Erdős–Rényi ma rozkład stopni Poissona — większość węzłów ma blisko średniej liczby sąsiadów, tylko kilka ekstremalnych hubów — więc jego poprawiony przez sieć próg jest bliski klasycznemu beta/gamma. Graf Watts–Strogatz małoświatowy zaczyna się jako siatka pierścieniowa i losowo powiązuje kilka krawędzi, co zrównywania ścieżki między odległymi węzłami (znaną jako „szóstek stopnia”) bez znaczącego zmiany rozkładu stopni, więc wybuchy docierają do całości populacji szybko, ale próg pozostaje podobny do przypadku losowego.

Graf Barabási–Albert bezskalowy jest interesującym przypadkiem: nowe węzły łączą się preferencyjnie z już popularnymi („osiągnięciu bogatych przez bogatszych”), tworząc rozkład stopni z prawem mocy o ciężkiej ogonie hubów. Pastor-Satorras i Vespignani pokazali w 2001 roku, że dla wykładnika stopnia między 2 a 3 — zakres, do którego najszerzej odnajdują się rzeczywiste sieci kontaktowe i społeczne — drugi moment rozbiega się, gdy sieć rośnie, co prowadzi do przesunięcia prógu epidemii w stronę zera. W idealizowanym granicznym przypadku nieskończonej liczby węzłów, prawie dowolna niezerowa stopa transmisji może utrzymać wybuch; w rzeczywistych skończonych sieciach pozostaje mały dodatni próg, który jest znacznie niższy niż sugerowana przez estymację grafu losowego o tej samej średniej liczbie sąsiadów.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Viral Spread on Contact Network i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.