Spirala Ulama: Pierwsze ukryte w przekątnych

Rysunkówka stała się odkryciem

W 1963 roku matematyk Stanisław Ulam siedział na długiej i nudnej prezentacji i zaczął rysować: zaczął pisać liczby całkowite 1, 2, 3… w spiralnym kwadracie od centrum, a przy każdym kroku krążył każdą pierwszą. To, co powinno było być rozrzutem punktów, okazało się spadac na przekątne znacznie częściej niż sugerowałaby losowość. On i współpracownicy Myron Stein oraz Mark Wells szybko pozwolili komputerowi narysować większą wersję, a wzór zachował się: nawet dla setek tysięcy liczb, pierwsze wyraźnie skupiają się na pewnych przekątnych i unikają innych.

budowanie spirali

Konstrukcja jest całkowicie mechaniczna: umieść 1 w centrum siatki, a następnie chodź po kwadratowej spiralce — w prawo, w górę, w lewo, w lewo, w dół, w dół, w prawo, w prawo, w prawo… — umieszczając każdą kolejną liczbę całkowitą na następnym polu. Każda prosta sekcja spiralki o ustalonej kierunkowości odpowiada wartościom pewnej kwadratowej funkcji wielomianowej liczby kroków, ponieważ długości ramion spiralki rosną dokładnie o jedno pole w połowie obrotu. To jest algebraiczny zasadek całego wzoru: liczby biegnące po dowolnej przekątnej spirali są faktycznie wynikami pewnego wielomianu 4n² + bn + c dla ustalonych liczb całkowitych b i c, ocenionych dla kolejnych n.

Dlaczego niektóre przekątne są tak bogate w liczby pierwsze

Nie wszystkie kwadratowe funkcje produkcji liczb pierwszych jest równomiernie często. Klasyka, odkryta przez Eulera w 1772 roku, to:

f(n) = n² + n + 41 f(0)=41 f(1)=43 f(2)=47 f(3)=53 … wszystkie liczby pierwsze dla każdego liczbowego n od 0 do 39 — 40 kolejnych wartości pierwszych. Ostatecznie zakończy się niepowodzeniem — f(40) = 41², jasno złożona — ale ciąg 40 liczb pierwszych jest znacznie dłuższy niż by dała „losowa” kwadratowa funkcja. Powodem jest arytmetyka, a nie magia: dla danej małej liczby pierwszej p, policz ile reszt n mod p sprawia, że f(n) jest podzielne przez p. Kwadratowa funkcja jak n² + n + 41 ma niezwykle niską liczbę takich „zły” reszt po wielu małych liczbach pierwszych p, co oznacza mniej jej wyników jest automatycznie wykluczone jako złożone przez podzielność przez małe liczby pierwsze. To oznacza większą część jej wartości przeżywa jako liczby pierwsze w dowolnym dłuższym przedziale.

f(n) = n² + n + 41

f(0)=41  f(1)=43  f(2)=47  f(3)=53 … all prime for every
integer n from 0 to 39 — 40 consecutive prime values.

hipoteza Hardy-Littlewood F

Ta intuicja została podkreślona przez hipotezę F postulatowana w 1923 roku przez G. H. Hardy'ego i Johna Littlewoda, która przewiduje asymptotyczną gęstość liczb pierwszych wśród wartości wielomianu kwadratowego an² + bn + c w terminach iloczynu po liczbach pierwszych p mierzącego dokładnie ten efekt unikania ustalonej restrykcji. Przekątne spirali Ulama odpowiadające wielomianom o wysokiej stałą Hardy-Littlewood są przewidziane — i obserwowane — jako widocznie gęstsze w liczbach pierwszych niż przekątne z niskim współczynnikiem, co jest dokładnie wzorem skórzastego, który spirala sprawia, że jest widoczny dla oka. Hipoteza pozostaje formalnie nieudowodniona, ale pasuje do empirycznych liczb pierwszych w bardzo bliscy sposób.

Spirala Sacksa: bliższa siostra

Wariant Roberta Sacksa z 1994 roku zastępuje stałe długości kroków w spiralnym kwadratowym układzie prawdziwą spiralem Archimedesa, umieszczając liczbę n pod kątem 2π√n i promieniu proporcjonalnym do √n, co oznacza, że perfect squares zawsze spadają na tym samym półkole. Ta zmiana wymienia proste przekątne w Ulamowskim spirale na krzywe łuki, ale taka sama podstawowa mechaizm — kwadraty rysują krzywe, niektóre bogate w liczby pierwsze, inne biedne — tworzy równie zaskakującą, choć bardziej organiczną, wzór.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Ulam Spiral i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.