Pakowanie kul i okręgów: Jak Densa Mogą Być Układane Przestrzeni?

Pytanko za każdym krystalem i każdą skrzynią z czerwckami

Pakowanie ujem φ to prosto stosunek objętości (lub pola) zajmowanego przez obiekty do całkowitej objętości przestrzeni, którą one wypełniają. Brzmiałoby to jak zapaść z radością, ale reguluje ono, jak atomy ustawiają się w krystale metali, jak czerwckami greengrocer może stosować je gęsto i jak gęsto powszechne substancje graniastoskowate mogą być wypuszczone. Odpowiedź zależy całkowicie od tego, czy pakowanie jest uporządkowane (powtarzający się siatka) lub nieuporządkowane (wylewane przypadkowo), a różnica między tymi dwoma stanami jest duża i dobrze pomiarowa.

2D: kwadratowe pakowanie przegubia się pod szóstokątne

Lewa równoliczne okręgi na siatkę kwadratowej, każdy dotykający czterech sąsiadujących, pokrywają π/4 ≈ 0,7854 powierzchni — reszta to cztery małe krzywe przestrzenie między rogami każdej komórki siatki. Przesunięcie alternatywnych rzędów tak, aby każdy okrąg pasował do wklęsłości między dwoma okrągami poniżej (pakowanie szóstokątne, sześć sąsiadujących na każdy okrąg), zwiększa ujemność do π/(2√3) ≈ 0,9069. Pakowanie szóstokątne jest dowodowo optymalne dla płaszczyzny — udowodnione przez Axel Thue w 1892 roku i formalnie przez László Fejes Tóth w 1940 roku — co również wyjaśnia, dlaczego muchy budują mieleń z komórek szóstokątnych a nie kwadratowych: jest to najbardziej ekonomiczny sposób na pokrycie płaszczyzny równolicznymi komórkami.

3D: pięć znanych rozpakowań

Prostopadłościenna sześcianowa (SC) φ = π/6 ≈ 0,5236 (6 sąsiadów) Ciało-centrowana sześcianowa (BCC) φ = π√3/8 ≈ 0,6802 (8 sąsiadów) Prawie losowe zaciszone (RCP) φ ≈ 0,64 (rozmyte, zatłoczone) Sześcianowa powierzchniowo-centrowana (FCC) φ = π/(3√2) ≈ 0,7405 (12 sąsiadów) Szesciokątna zacisza (HCP) φ = π/(3√2) ≈ 0,7405 (12 sąsiadów) FCC i HCP są równorzędne co do najbardziej gęstej rozpakowywania siatkowego, a ten fakt nie jest przypadkiem — oba są budowane przez stosowanie warstw sześcianowych w kształcie szesciokątów, każda nowa warstwa ustawiana jest w pustkach podległej; jedynym różnictwem jest czy trzecia warstwa powtarza pozycję pierwszej (HCP, sekwencja ABAB…) lub przesuwa ją ponownie (FCC, sekwencja ABCABC…). Wiele rzeczywistych metali — miedź, aluminium i złoto tworzą krystale FCC; magnez i cynk tworzą HCP — zającają dokładnie tę samą gęstość dla tej samej geometrycznej przyczyny, jakim jest stosowanie owoców sprzedawcą w piramidę.

Simple cubic (SC)             φ = π/6            ≈ 0.5236   (6 neighbours)
Body-centred cubic (BCC)      φ = π√3/8         ≈ 0.6802   (8 neighbours)
Random close packing (RCP)    φ                    ≈ 0.64     (disordered, jammed)
Face-centred cubic (FCC)      φ = π/(3√2)       ≈ 0.7405   (12 neighbours)
Hexagonal close-packed (HCP)  φ = π/(3√2)       ≈ 0.7405   (12 neighbours)

Konwencja Keplera

Johannes Kepler w 1611 roku postawił hipotezę, że żadne ułożenie równych kul — uporządkowane czy nieuporządkowane — nie może przekroczyć π/(3√2) ≈ 0,7405, gęstości układu FCC/HCP. Wydaje się oczywiste na podstawie stosu kul kanonowych, ale dowód, że żadne bardziej skomplikowane i nieuporządkowane ułożenie nie mogłoby być lepsze, odporne był na formalny dowód przez prawie cztery stulecia. Thomas Hales ogłosił dowód w 1998 roku korzystając z ekspansyjnej walidacji komputerowej tysięcy przypadków geometrycznych; trudność społeczności w sprawdzeniu tak dużego analizy ręcznie spowodowała, że Hales rozpoczął projekt Flyspeck, który formalnie potwierdził każdy krok w asystencie dowodu i potwierdził wynik poza wszelką wątpliwość w 2014 roku.

Losowe wypełnienie nigdy nie osiąga maksimum siatkowego

Wylewaj identyczne kule do kontenera i potrząśnij — zamarzają przy uzupełnieniu około 0,64 — losowo gęste wypełnienie — daleko przed 0,7405 uporządkowanym maksimum. Przestrzeń między tymi dwoma wartościami wynika z tego, że nieuporządkowane zamarzanie jest zatrzone w lokalnym równowagowym mechanicznym: żadna mała zmiana pozycji kul nie może ich przytulić bardziej bez najpierw rozdzielenia niektórych kulek, aby zaszerzyć miejsce. Fizyczne potrząśnięcie rzeczywistego kontenera rzadko dostarcza wystarczającej energii do ucieczki z tego lokalnego pułapu i reorganizacji w siatkę kristalową. Ta wartość 0,64 powtarza się regularnie w naukach materiałowych, od metallurgii powszechnej do sposobu, w jaki kulki śrubowe ustawiają się w worku.

Liczby pocałunkowe

Związany z tym pytanie pyta nie o ilość zajętego miejsca, ale o to, ile sąsiadów może jednocześnie dotknąć pojedyncza kula — liczba pocałunkowa. W 2D jest ona dokładnie równa 6, łatwo ją widzieć i dowodzic. W 3D wynosi 12, osiąganej zarówno przez układ FCC, jak i HCP, ale udowodnienie, że nie można wpakować 13-tej kuli, wymagało do 1953 roku: 12 kul dotykowych zostawia tyle miejsca wokół centralnej kuli, że niemożliwość wpakowania 13-tej jest naprawdę niewyraźna, w przeciwieństwie do gęstego przypadku 2D.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Sphere & Circle Packing i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.