Pendulum Torcjalny: Przygoda Mierząca Ziemię

Rotacyjny odpowiednik sprężyny

Przypuśćmy, że wisimy dysk na cienkim witeczku lub włóknie i obracamy go. Witeczek opiera się na obroty, tworząc moment odwracający proporcjonalny do kąta obrócenia — dokładnie odpowiednik prawa Hooke’a dla rotacji, F = -kx. Każdy termin równania sprężyna-masa-zawieszenie ma bezpośredniego odpowiednika rotacyjny: masa staje się momentem bezwładności I, stała sprężystości staje się stałą obrotową κ, a położenie staje się kąt θ.

linear:      m·x'' + c·x' + k·x = 0
rotational:  I·θ'' + b·θ' + κ·θ = 0

I  = moment of inertia of the suspended disk about the wire's axis
b  = rotational damping (air resistance, internal friction of the wire)
κ  = torsion constant of the wire — its stiffness against twisting

Okres, i dlaczego grawitacja jest gdzieś tam

W przypadku bezdampingu, częstotliwość kątowa i okres wyznacza się natychmiast przez analogię z oscylatorem liniowym: ω = √(κ / I):

ω₀ = √(κ / I) T = 2π √(I / κ) Uwaga na to, czego brakuje: g. Okres drgań wyciągania się w kąt zależy od grawitacji, ponieważ grawitacja jest siłą powrotnej akcji; siła powrotna wyciągania się w kąt w przypadku torcowego wahadła pochodzi całkowicie z elastyczności nici, więc jego okres jest taki sam na Ziemi, na Księżycu lub w środku ISS. Ta cecha — okres wyznaczony przez mechaniczne sztywności zamiast lokalnej grawitacji — jest dokładnie tym, dla czego historycznie zegarki mechaniczne używały balansu podobnego do torcowego zamiast drgającego wahadła: zegarek w kieszeni nie powinien zmieniać swojej precyzji, jeśli się upadnie.

ω₀ = √(κ / I)
T  = 2π √(I / κ)

Zakłócenie i zanikający obwódko

Zakłócenia włączone, podobnie jak w liniowym oscylatorze, dzielą damped torsjonalny wahadłuszko na klasyczne poddamped/critical/overdamped kategorie, określone przez współczynnik zanikania rotacyjnego ζ = b / (2√(Iκ)). Słabo zakłócony wahadłuszko torsjonalny (małe b — cienka nici w spokojnym powietrzu) oscyluje długą czas, utracić swoją amplitudę wykładniczo zanikającym obwódkiem e^(-ζω₀t), ruch za ruchem stracając tę samą proporcję swojej pozostającej amplitudy — dokładnie zachowanie widoczne w powyższej demonstracji na żywo, a także to samo oznaki wykorzystywane do pomiaru właściwości materiału nici z zarejestrowanego ringdownu.

Cavendish, 1798: pomiar niezmiernie małych

Prawdziwej sławy torsyjny podporę zyskał dzięki eksperymentowi Henry’ego Cavendisha w 1798 roku. Wsuniął niewielkie kule z wodorku na końcach lekkiej poziomej prętuki, a następnie przybrał do bliskiego zbliżenia większych kul z wodorku. Przyciąganie masy między parami kul — siła zbyt słaba, aby być zauważalna większością metod dostępnych na to czasie — skręciło nicię torsyjne o małą, ale bardzo mierniczą kąt, ponieważ κ mogło być niezwykle małe dla tkaniny dostatecznie cienkiej.

Zdefiniowany przez defekcję kąta, znanych mas i odstępstw, oraz okresu drgań podporki (który daje κ poprzez powyższą formułę), Cavendish wydobył stałą przyciągania G z dokładnością do około 1% wartości współczesnej — a z G obliczył masę i średniej gęstości Ziemi, stając się pierwszą osobą w historii, która rzeczywiście wagę planety.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Torsion Pendulum — Angular Oscillator i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.