Tesselaacje i wzory Penrose'a

Wypełnianie płaszczyzny bez przeskoków ani nadmiarów

Tesselaacja pokrywa płaszczyznę figurami tak, że każda punkt należy dokładnie do jednej kafelka, bez przeskoków i bez nadmiarów. Najprostszym przypadkiem jest regularna tesselaacja: kopie jednego wielokąta regularnego, bok po boku. Tylko trzy wielokąty regularne są w stanie to zrobić — trójkąt, kwadrat i sześciokąt, ponieważ kąty wewnętrzne spotykające się przy każdym wierzchołku muszą sumować się dokładnie do 360°.

triangle: interior angle 60°   -> 6 meet at a vertex  (6 x 60 = 360)
square:   interior angle 90°   -> 4 meet at a vertex  (4 x 90 = 360)
hexagon:  interior angle 120°  -> 3 meet at a vertex  (3 x 120 = 360)
pentagon: interior angle 108°  -> 360 / 108 is not a whole number, so no
          regular pentagon tiling exists at all

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Semiregular tesselaacje i grupy wzorów murowych

Kombinowanie rodzajów wielokątów przy każdym wierzchołku — z zachowaniem jednego i takiego samego sekwencji wielokątów naokoło każdego wierzchołka — daje osiem tesselacji Archimedowskich (semiregularnych), takich jak znany wzór 3.3.4.3.4 składający się z kwadratów i trójkątów. Każda okresowa tesselacja na płaszczyźnie, niezależnie od jej skomplikowania, należy dokładnie do jednej z 17 grup wzorów murowych, pełnej klasyfikacji (dowodzonej w 1924 roku przez Georga Pólyę) sposobów, w jakich translacje, obroty, symetrie i symetrie skokowe mogą powtarzać wzór bez przerywek. Obrazy M.C. Eschera z nakładającymi się ptakami i żwalistymi są okresowymi tesselacjami typowych, których krawędzie kafelków zostały deformowane w taki sposób, że granica między sąsiadami staje się niewidoczna.

Tesselaacja Penrose'a: porządek bez powtórzenia

W 1974 roku Roger Penrose odkrył zestaw kafelków — najbardziej znane są „kite” i „dart”, czyli odpowiednio dwa romby — który tesselauje całą płaszczyznę tylko aperiodycznie: wzór nigdy nie powtarza się przez przesunięcie, niezależnie od tego jak daleko tesselaujemy, choć jest zbudowany z tylko dwóch kształtów pod stronnymi zasadami dopasowywania krawędzi. To nie jest wyjątek tezy twierdzącej, że 17 grup wzorcowych klasyfikują periodyczne wzory; tesselaacja Penrose'a jest świadomie nieperiodyczna. Zmuszanie do przestrzegania zasad dopasowywania (zazwyczaj rysowanych jako kolorem łuki, które muszą być wyrównane na każdym wspólnym krawędzi) uniemożliwia kafelkom opadnięcie do jednego z normalnych periodycznych tesselaacji i wymusza formę symetrii pięcioosobościowej, której żaden periodyczny wzór nigdy nie może mieć — twierdzenie ograniczeń cristalograficznych zabrania symetrii pięcioosobościowej w dowolnym periodycznym wzorze, dokładnie dlatego że 108° nie dzieli się równo na 360°.

Tworzenie jednego: metoda pentagrid

N. G. de Bruijn pokazał w 1981 roku, że wzór Penrose’a można wygenerować bezpośrednio, bez prób i błędów, rysując pięć rodzin równoległych linii odstępujących się o 36° (pentagrid) i biorąc graf dualny układu: każde przecięcie linii siatki staje się wierzchołkiem rombu. Equivalently, wzór Penrose’a jest cieniem rzuconym z projectowania kawałka pięciowymiarowej sieci sześciennej na dwuwymiarową przestrzeń — aperiodyczność jest prosto tym, jak wygląda okresowa struktura w 5D po tym, jak ją widzimy z irracjonalnie nachylonego 2D płaszczyzny.

Kwazakryty: fizyka złagodzonej w 1982 roku

Dekadę długą wydawało się być puresztatem matematycznym. W 1982 roku Dan Shechtman zauważył aluminowo-manganowy alianz, którego wzór difrakcji elektronowej pokazywał ostre punkty o dziesięciokrotnym symetrycznym układzie — zakazany byłby takim symetrią dla dowolnego zwykłego krytchu przez to samo twierdzenie ograniczające, które zabrania 5-krotnego wzorowania się. Atomów było ułożonych w stylu trójwymiarowego analogu wzoru Penrose’a: wystarczająco uporządkowanych do difrakcji ostrej, ale nigdy periodarycznych. Znalezienie to początkowo zostało odrzucone, a Shechtman zdobył Nobla w Chemii w 2011 roku po tym, jak dziedzina ta przyszła na porządkę; te kwazakryty są fizycznym dowodem tego, że wzory Penrose’a abstrakcyjne opisują rzeczywisty, stabilny stan materii.

Często zadawane pytania

Dlaczego regularyjne pięciokąty nie mogą pokrywać płaszczyzny samodzielnie?

Kąt wewnętrzny regularnego pięciokąta wynosi 108 stopni, a 360 podzielone przez 108 nie daje liczby całkowitej, więc żadna liczba całkowita pięciokątów nie może zamknąć się wokół pojedynczego wierzchołka bez przestrzegania lub nadmiarów. Twierdzenie ograniczeń krystalograficznych generalizuje to: żaden okresowy pokrywający płaszczyznę nigdy nie może mieć dokładnej 5-krotnej symetrii obrotowej.

Co czyni pokrywanie Penrose odmiennym od zwykłego okresowego pokrywania?

Zostało zbudowane tylko z dwóch kształtów kafelkowych pod stricte zastosowanymi zasadami dopasowania brzegowego, jest całkowicie deterministyczne raz zaczynając się, ale nigdy się nie powtarza poprzez przesunięcie, jakkolwiek daleko rozszerzysz je. Pokrywanie to również pokazuje formę 5-krotnej symetrii, która jest matematycznie niemożliwa dla żadnego okresowego pokrywania, co dokładnie jest powodem, dlaczego potrzebowało specjalnej konstrukcji zamiast być klasificowane wśród grup 17 wzorów krzywej.

Czy kwazikrystale to rzeczywista substancja lub tylko matematyczna idea?

Są one rzeczywiste. Dan Shechtman odkrył w 1982 roku fizyczną aluminowo-manganową aliancję z symetrią difracji niedozwoloną dziesięciokrotnej, strukturalnie podobną do trójwymiarowego pokrywania Penrosego, i zdobył w 2011 roku Nobla w Chemii za odkrycie, gdy jego odkrycie zostało potwierdzone.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Tessellations i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Tessellations

Tesselaacje: od regularnych powtarzania się do zabronionej symetrii Penrose'a