Wznosząca się pętla w lepkim cieczy: kształt, prędkość i niestabilność toru

Zasada wyporu wobec tarcia

Gazowy bąbel uwypniający się w cieczy lewkowo z powodu mniejszej gęstości niż otaczająca go ciecz – to ten sam wypór, który unosi łódź – ale nie przyspiesza on w nieskończoność. Wraz ze wzrostem prędkości, tarcia lepkie od otaczającej cieczy rośnie wraz z prędkością, aż do momentu, w którym dokładnie zrównuje się z siłą wypornościową i bąbel osiąga stałą prędkość terminalną. Wszystko interesujące, co więże się z unoszeniem się bąbla – czy to pozostaje gładką kulą, spłaszcza się w czepiec, czy też drga chaotycznie – zależy od tego, jak ważona jest siła wypornościowa, lepkość i napięcie powierzchniowe.

Opór Stokena i granica małych pęcherzyków

Dla niewielkiego pęcherzyka poruszającego się wystarczająco wolno, aby siła bezwładności była pomijalnie niska w porównaniu z lepkością (niski współczynnik Reynoldsa), siła tarcia podąża za prawem Stokena: F_tarcia = 6*pi*mu*r*v, gdzie mu to dynamiczna lepkość cieczy, a r promień pęcherzyka. Ustawienie oporu Stokena na równo z czystym naporem wypornościowym (waga wypieranej cieczy pomniejszona o własną, pomijalnie małą wagę pęcherzyka) daje klasyczny wynik prędkości terminalnej:

F_wypornosci = (4/3)*pi*r^3 * delta_rho * g F_tarcia = 6*pi*mu*r*v_terminal (Opór Stokena, ważny dla Re < ~1) v_terminal = (2/9) * delta_rho * g * r^2 / mu // rozwiązanie F_wypornosci = F_tarcia Jest to ta sama formuła, z odwróconym znakiem, która opisuje zanurzającą się powoli kulę o dużej gęstości w cieczy o wysokiej lepkości, i dobrze sprawdza się dla bardzo małych pęcherzyków - kilka dziesiątych milimetra lub mniej w wodzie – gdzie napięcie powierzchniowe jest wystarczająco silne, aby utrzymać pęcherzyk prawie idealnie sferyczny podczas jego wznoszenia, a więc opór rzeczywiście jest prostym oporem Stokena na sztywną kulkę. Większe pęcherzyki szybko odbiegają od tego obrazu, zarówno z powodu efektów bezwładności, których ignoruje opór Stokena, jak i dlatego, że kształt pęcherzyka przestaje być sferyczny.

F_buoyancy = (4/3)*pi*r^3 * delta_rho * g
F_drag     = 6*pi*mu*r*v_terminal            (Stokes drag, valid for Re < ~1)
v_terminal = (2/9) * delta_rho * g * r^2 / mu   // solving F_buoyancy = F_drag

Dwa liczby określające kształt

Liczba Eotvosa, Bo = delta_rho * g * d^2 / sigma, porównuje siłę wypornościową próbującą zdeformować pęcherzyk z napięciem powierzchniowym sigma, które stara się go utrzymać w postaci sferycznej. Mała wartość Bo (napięcie powierzchniowe dominuje) utrzymuje pęcherzyk okrągły; duża wartość Bo (siła wypornościowa dominuje, zwykle większe pęcherzyki) pozwala mu spłaszczyć się do eliptycznej dyski lub, w skrajnych przypadkach, do kształtu 'sfery z miselką' z płaską lub nawet wypukłą podstawą.

Liczba Morton’a, Mo = g*mu^4*delta_rho / (rho^2*sigma^3), jest nietypowa spośród grup bezwymiarowych, ponieważ zależy wyłącznie od właściwości płynu, a nie od wielkości ani prędkości pęcherzyka. Jest to stała liczba dla danego układu ciecz-gaz (woda-powietrze, gliceryna-powietrze i tak dalej), mierząca względne lepkość i gęstość płynów w stosunku do napięcia powierzchniowego. Razem liczby Eotvos’a i Morton’a (lub równoważny zestaw liczb Reynoldsa-Eotvos’a-Mortona) praktycznie całkowicie określają kształt i tryb unoszenia się pęcherzyka, a badacze przedstawiają je na standardowej wykresie odniesienia – diagramie Grace’a – który dzieli ten obszar parametrów na obszary sferyczne, eliptyczne, z miselką oraz sfery z miselką, pozwalając inżynierowi odczytać oczekiwany kształt pęcherzyka i prędkość terminalną wyłącznie na podstawie właściwości płynu i wielkości pęcherzyka, bez uruchamiania symulacji.

Niestabilność toru: dlaczego pęcherze drżą i wykrzywić się zwinam.

Po przekroczeniu krytycznej wielkości pęcherza (i odpowiadającego tego liczby cyfrowej Reynoldsa, zwykle kilkuset), ścieżka wznoszącego się pęcherza przestaje być prostą, pionową linią. Małe, asymetryczne zakłócenia w ogonie za pęczkiem – rozerwanie wiru, podobne do uliczki wirów za cylindrem w przepływie poprzecznym – łączą się z ruchem i kształtem pęcherza, powodując przejście z liniowego na zygzakowaty lub liniowy na spiralny. Ta niestabilność toru jest prawdziwie trójwymiarowym, niestacjonarnym zjawiskiem: ogon pęcherza rozerwa wir w sposób asymetryczny, odchylając pęczek na boki, co zmienia ogon, który go ponownie popycha, w samowzbudzającą się oscylację, która również koreluje z oscylacjami kształtu (drgania) dla pęcherzyków, które nie są idealnie sztywne.

Dlaczego dynamika pęcherzyków ma znaczenie poza laboratorium

Dynamika pęcherzyków reguluje transfer masy gazowo-płynny w reaktorach chemicznych o kolumnie bęblowej, proces aeracji w oczyszczalniach ścieków, transfer ciepła związany z wrzeniem w elektrowniach parowych, wydzielanie CO2 z napojów gazowanych oraz degazowanie lawy w przewodach wulkanicznych, gdzie duże, szybko unoszące się pęcherzyki gazu są zaangażowane w dynamikę wybuchowych erupcji. W zasadzie w każdym z tych przypadków ilość praktyczna, którą interesują się inżynierowie – powierzchnia interfejsowa dostępna do transferu masy lub ciepła, lub czas przebywania pęcherzyka w reaktorze – zależy bezpośrednio od prędkości terminalnej i trybu kształtu przewidywanego przez ramę Eotvos-Morton-Reynolds.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Rising Bubble i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.