Sieci sprężyn i kryterium rigidezji Maxwella

Nekotorych siatek sprężyn nie jest można zacisnąć nawet gdy sprężyny są bardzo twardy

Załaduj 2D sieć punktowych mas połączonych nieregularnym, losowym układem sprężyn Hookea i naciągnij jedną krawędź. Zależy to jedynie od liczby sprężyn łączących się z wielkością węzłów — nie na twardości żadnej pojedynczej sprężyny. Sieć albo deforma się swobodnie, prawie bez oporu, lub opiera się jak rzeczywisty twardy sól elastyczna. To nie jest stwierdzenie o właściwościach materiałów; to stwierdzenie o liczeniu. James Clerk Maxwell rozwiązał podstawową logikę w 1864 roku, pierwotnie dla analizy trussów i ramek w inżynierii konstrukcyjnej, a ten sam argument liczeniowy teraz stanowi podstawę współczesnej teorii sól amorficznych, jelit biologicznych oraz przejścia do zatłoczenia omawianego na innych stronach tej strony internetowej.

Liczenie wolności wobec ograniczeń

Sieć z N mas punktowych w d wymiarach ma około d·N stopni swobody (minus kilka dla ogólnego przesunięcia i rotacji, które nie liczą się jako wewnętrzne deformacje). Każdy sprężyn, pod warunkiem, że jest napiety lub zaciskany, usuwa pierwszego rzędu jeden stopień swobody poprzez ustalenie odległości między jego dwiema końcami — to jedno geometryczne ograniczenie. Średnia liczba koordynacji z (średnia liczba sprężyn spotykających się w wierzchołku) bezpośrednio ustawia stosunek ograniczeń do wolności:

stopnie swobody ≈ d · N liczba sprężyn = z · N / 2 (każda sprężyna dzieli się między dwiema węzłami) Liczenie Maxwella: liczba ograniczeń - liczba wolności = (z/2 - d) · N z < 2d → ZBYWANIE OGRANICZENIOM: istnieją tryby deformacji — tryby elastyczne — które kosztują zero energii elastycznej na pierwszym rzędzie, niezależnie od mocy pojedynczych sprężyn. Wyprostuj sieć poniżej prógowego stopnia i prostuje się jej geometria w jednym z tych wolnych kierunków. Powyżej z_c, każda możliwa deformacja rozciąga przynajmniej jedną sprężynę, więc każda deformacja kosztuje energię — sieć odpiera, a ma rzeczywistą, skończoną moduł elastycznego (szerzeniowego). demo interaktywny · losowa siatka sprężyn deformująca pod obciążeniem blisko z_c● LIVE W dwóch wymiarach z_c = 4: poniżej średniej liczby czterech sprężyn na węzeł, sieć ma więcej stopni swobody niż ograniczeń i istnieją całe tryby deformacji — tryby elastyczne — które kosztują zero energii elastycznej na pierwszym rzędzie, niezależnie od mocy pojedynczych sprężyn. Spowoduj deformację poniżej prógowej sieci i prostuje się jej geometria w jednym z tych wolnych kierunków. Powyżej z_c, każda możliwa deformacja rozciąga przynajmniej jedną sprężynę, więc każda deformacja kosztuje energię — sieć odpiera i ma rzeczywisty, skończony moduł elastyczny (szerzeniowy).

degrees of freedom  ≈ d · N
number of springs    = z · N / 2        (each spring is shared by 2 nodes)

Maxwell count:  N_constraints - N_freedoms  =  (z/2 - d) · N

z < 2d   →  UNDER-constrained: floppy modes exist — the network can deform for FREE
z = 2d   →  ISOSTATIC: exactly balanced — the critical/marginal point, z_c = 2d
z > 2d   →  OVER-constrained: no floppy modes — the network is genuinely RIGID

Moduł blisko granicznego punktu

Blisko z_c, moduł sprężysty jest dokładnie równy zero, a powyżej tego punktu rośnie jako ujemna potęga różnicy koordynacji, Δz = z − z_c:

G ~ k · Δz (moduł skręcanie, blisko z_c, dla sieci sprężyn o siłach centralnych) k = oddeleczość pojedynczej sprężyny Δz = z - z_c (nadmierna koordynacja powyżej punktu izostatycznego) Jest to taka sama forma krytycznego skalowania jak widziany przy granicnym punkcie zamętnienia dla pakowań granularnych, a raczej dla podobnej przyczyny: oba są przykładami perkolacji mechanicznej — sieci zdobywająca globalną stabilność mechaniczną z jedynie lokalnego warunku geometrycznego, po tym jak wystarczająco wiele ograniczeń nastąpiło. Punkt izostatyczny, z = 2d, jest przypadkiem granicznym w obu problemach, dlatego matematyka tych dwóch tematów stale się powtarza mimo opisania fizycznie różnych systemów (stałej sieci sprężyn vs. pakowania wolno ruchących dysków).

G  ~  k · Δz          (shear modulus, near z_c, for central-force spring networks)

k  = individual spring stiffness
Δz = z - z_c   (excess coordination above the isostatic point)

Gdzie rzeczywiście mają znaczenie tryby liggantowe

Ta argumencja liczeniowa stanowi podstawę pracującego teorii, dlaczego niektóre glaski związkowe tworzą łatwo, a inne nie: Phillips i Thorpe pokazali, że zdolność do tworzenia glaski w sieciach typu Ge-As-Se jest silnie powiązana z średnią koordynacją atomową bliską granicy isostatycznej, gdzie sieć jest wystarczająco elastyczna, aby rozluźnić się w nieuporządkowanej, niskoprężnej amorficznej fazie, ale nadal wystarczająco twarda, aby utrzymać się. To samo opisuje biologiczne sieci włókien — kolagenu, fibrinu, cytoskeletu — których miara twardości podnosi się szybko po przekroczeniu podobnej do przejścia krytycznego próby przepływu gęstości skrzyżowań, a to jest powodem dla inżynierów analizujących konstrukcję truskawkową lub ramki roweru, aby instinctywnie liczyć trójkąty: trójkąt (trzy wierzchołki, trzy krawędzie) jest dokładnie isostatyczny w dwuwymiarowości, co dokładnie wyjaśnia dlaczego struktury triangulowane są domyślnym wyborem dla twardych ramek.

Symulacja losowej sieci

Tworzenie testowej sieci jest proste: umieść węzły (na siatce lub losowo), połącz określoną proporcję p możliwych więzi sąsiadujących jako sprężyny Hookea, zastosuj małą graniczną deformację i rozluźnij wnętrze za pomocą dynamicznych zasobów opartych na tłumieniu lub bezpośredniej minimalizacji energii, aby pomierzyć wynikową naprężenie.

// Hookean spring force between connected nodes i, j
const dx = pos[j].x - pos[i].x, dy = pos[j].y - pos[i].y;
const dist = Math.hypot(dx, dy);
const stretch = dist - restLength[i][j];
const f = k * stretch;                 // Hooke's law
applyForce(i, j, f, direction = (dx, dy) / dist);
// average z = 2 * (number of bonds) / (number of nodes)

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Spring Network — Random Elastic Lattice i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.