Porównanie odmian mapowych: Mercator, Mollweide i Indekscja Tissota

Nie można rozciągnąć sfery bez odstępu prawdy

Twierdzenie Egregium Gaussa udowodnia, że powierzchnia zgięta, jak sfera, nie może być mapowana na płaską powierzchynię bez deformacji odległości, kątów lub poleg – zawsze trzeba porzucić co najmniej jedno. Każda projektacja mapowa jest więc świadomym kompromisem, a wybór właściwości do ochrony określa cel projektacji: mapa przeznaczona do nawigacji chroni kąty, jedna przeznaczona do porównywania rozmiarów państw chroni poleg, a większość kompromituje się na obu, aby nie deformować idealnie, ale odstawić obie w miarę równomiernie.

Konformal: wypuklenie Mercatora

Wypuklenie Mercatora (1569) jest konformalne — zachowuje kąty i kształty lokalne, co było dokładnie powodem jego zaprojektowania dla żeglarzy: linia prostopadła rysowana na mapie Mercatora to linia zastępcza, ścieżka o stałym kierunku wskazówki kompasowej, pozwalająca nawigatorowi prowadzić jednolity kierunek przez całą podróż. Cena to pole: Mercator rozciąga od-wschodnie odległości o 1/cos(latitude) i, aby zachować poprawność kątów, rozciąga północno-południowe o taki sam czynnik, więc deformacja polowa rośnie do 1/cos²(latitude). To dlatego Greenland wygląda tak samo wielkim kontynentem obok Afryki na mapie Mercatora, mimo że ma około cztertecznej części jej rzeczywistej powierzchni.

Równoobejmacze: Mollweide, sinusoidalna, azymutalna Lambert'a

Równoobejmacze (equivalent) przekształcenia kompromitują dokładność kątową, aby zapewnić, że obszar mapowany dla każdej lokalizacji jest zawsze proporcjonalny do jej rzeczywistego obszaru — niezbędne dla map choroplehowych, gęstości populacji lub statystyk pokrycia terenu. Projekt Sinusoidalny zachowuje poprawność skali poziomej na każdej równoleżnikowej i rysuje meridiane jako krzywe sinusoidy zbiegające się przy polach. Projekcja Mollweide mapuje cały świat na elipsę, co przeskalowuje kształt bardziej, ale rozprowadza kompresję pól w sposób bardziej elegancki. Projekt azymutalny równoobejmujący Lambert centruje się w jednym punkcie (często polu) i zachowuje obszar w każdej kierunku od tego centrum, co sprawia, że jest dobrze nadane do map półkuli lub polarnej, mimo że kształt staje się coraz bardziej przekrzywiony przy brzegach mapy.

conformal (angle-true):     Mercator, stereographic
equal-area (area-true):     Mollweide, sinusoidal, Lambert azimuthal EA
compromise (neither exact): Robinson, equirectangular, Winkel tripel

Mercator area distortion factor ≈ 1 / cos²(latitude)
  at 60° latitude:  1/cos²(60°)  = 4×   too large
  at 80° latitude:  1/cos²(80°) ≈ 33×   too large

Indektryk Tissota: miernik nieprawdy

Indektryk Tissota sprawia, że deformacje są widoczne wprost, a nie abstrakcyjnie: wyobraź sobie umieszczenie małego, idealnie krzyżowego dysku o stałym promieniu w wielu punktach globu, a następnie zobacz, jak przyjmuje kształt każdy z tych dysków po projekcji. Na konformnej projekcji każda indektryk pozostaje krzyżowym, tylko o inny rozmiar na różnych szerokościach geograficznych — kąty są zachowane, pole nie jest. Na równo-polewej projekcji każda indektryk ma taką samą powierzchnię, ale rozszerza się w elipsę — kształt jest zcompromitowany, pole nie jest. Na projekcji, która ani jedna, ani druga, indektryki deformują się zarówno w rozmiarze, jak i kształcie, co dokładnie to, czego widzisz na kompromisowych projekcjach ogólnopułapkowych, takich jak equirektangular (prosta siatkę szerokości geograficznych i długości geograficznych, łatwe do obliczenia, prawidłowa tylko wzdłuż równika lub wybranej standardowej paraleli), która coraz bardziej rozciąga się wschód-w zachód ku polom.

Wybór projekcji nie polega na znalezieniu 'najbardziej dokładnej' mapy — takiej rzeczy nie ma dla sfery w płaszczyźnie — ale na dopasowywaniu zachowanych właściwości do celu mapowania: Mercator dla kierunków, Mollweide lub sinusoidalna dla porównania pól, Lambert azymutalny dla regionu polarnego, a kompromisowa projekcja, jak Robinson, gdy mapa musi wyglądać racjonalnie na pierwszy rzut oka.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Spherical Projections i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.