Strumień Stoka: Powolne, Odwracalne Ruchy Cieczy

Świat bez chwilowości

Całkowite równania Naviera-Stokesa zbalansują trzy rodzaje siły na cząsteczkę cieczy: ciśnienie, lepkość i chwilowość (masa razy przyspieszenie). Jakie zaszczyca dominację jest ustalane przez liczbę Reynolds'a, Re = ρUL/μ — stosunek sił chwilowych do lepkich dla przepływu prędkości U obiekta o rozmiarze L w cieczy o gęstości ρ i lepkości μ. Kursująca baleńka ma Re w miliardach; bakteria pływająca w wodzie, lub szklana kula opadająca przez miód, ma Re blisko 10⁻⁵ lub niższy. W tym ekstremum chwilowość nie jest tylko mała — jest taka niewielka, że można ją całkowicie zignorować, pozostawiając to, co nazywa się przepływem Stoka lub przypływowym.

Równania Stokesa

Zabranie terminu bezwładnościowego (nielinearnej adwersji) z równań Naviera-Stokesa pozostawia liniową równowagę między gradientem nacisku a siłą odporu lepkiego, razem z niezmienniczością objętości:

μ∇²u = ∇p (siła lepkiego odporu równa się gradientowi nacisku) ∇·u = 0 (niezmienniczość objętości) Nie ma żadnej pochodnej czasowej prędkości — pole ruchu w dowolnym momencie zależy tylko od warunków brzegowych na ten sam moment, bez pamięci o tym, jak tam dotarło. Zatrzymanie się poruszającego się płyty w tym stanie spowoduje prawie natychmiastowe zatrzymanie ruchu cieczy; nie ma żadnego przyspieszania, brzmiącego śladu czy odkładania wirów typu ten, który sprawia, że flaga flapuje w wietrze.

μ∇²u = ∇p          (viscous force balances pressure gradient)
∇·u = 0             (incompressibility)

Zasada Stoka i opór spadającego kulistego ciała

George Gabriel Stokes w 1851 roku rozwiązał dokładnie liniowy system dla kulistyka o promieniu r poruszającej się z prędkością v przez nieograniczone ciepłe płyn, podając siłę oporu:

F_drag = 6πμrv Jest to podstawa viscometry spadającego kula (miara terminalnej prędkości kulistyka pozwala na wywnioskowanie μ) oraz eksperymentu z pyłkami olejnymi Millikana, który używał tej zależności do pomiaru ładunku elektronu. Ponieważ opór jest liniowy w odniesieniu do prędkości, a nie kwadratowy jak na dużych wartościach Re, podwójenie prędkości dokładnie podwójuje siłę przeciwną ruchowi — brak jest drag crisis, rozpadu ani turbulentnego śladu, co ułatwia interpretację wyników.

F_drag = 6πμrv

Liniowość daje odwracalność

Dokonane równania Stoka są liniowe i nie zawierają pochodnej czasowej, dlatego są niezmiennicze pod względem odwrotu czasu: odwrócenie każdej prędkości brzegowej spowoduje odwracanie całego pola ruchu, co powoduje jego exactne odwrotne przejście. To jest fizyka tajnego filmu G. I. Taylor'a — kropelka farby włożona między dwie concentryczne cylindry glyceryny rozpraszona jest na niewidzialną nitkę przez kilka obrotów wewnętrznego cylindra, a następnie, odwróceniem cylindra o tyle samych obrótach, nitka powraca do skompaktowanej kropelki. Wysokiego numeru Reynolds'a to niemożliwe: turbulentność mieszana jest farbą poprzez niezliczone stopnie swobody niewspierane przez odwrócenie jednego kontroli makroskopowej.

Dlaczego mikroorganizmy nie mogą kołysać się na ruchu

Życie w niskim polu Reynolds'a ma konsekwencje dla ruchu organizmów. Teorem skalpida Edwarda Purcella (1977) zauważa, że odwracalność zabrania dowolnego netowego przesunięcia ze wzajemnie odwrotnego ruchu — gest, który wygląda identycznie w przód i wstecz, jak otwieranie i zamknięcie skalpyla jednym ząbkiem, powoduje zero netowe pływotwórcze w stokowym polu, ponieważ odwrócenie gestu dokładnie cofa wszystko, co osiągnął ruch w przód. To dlatego bakterie ewoluowały do obracających się helikoidalnych flagel i cili skreślają asymetryczne, nieodwrotny wzór — potrzebują gestu, który jest naprawdę inny w przód i wstecz, aby zrobić jakiekolwiek postępy.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Stokes Flow i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.